Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9 Предварительно выпученный стержень

Рассмотрим снова практически несжимаемый стержень, но теперь с обоими шарнирно закрепленными концами в фиксированных положениях А, В, расстояние между которыми меньше длины стержня в нормальном состоянии (рис. 13.18). Он вынужден, следовательно, быть выпученным, даже если показанная на рисунке нагрузка равна нулю. Что произойдет при возрастании

При выпучивании по типу стандартной сборки, как в §§ 4 и 5, когда увеличивается, стержень внезапно перестает быть прямолинейным, но его движение при этом не будет разрывным. При система идет по ту или по другую сторону сборки, перемещаясь дифференцируемым образом в зависимости от Наша же новая система ведет себя по-другому: она „схлопывает“ — с щелчком перескакивает в новое положение, совершая внезапно большое движение.

Эту задачу можно трактовать по-разному. Наиболее полный подход состоит в том, чтобы работать с бесконечномерным многообразием конфигураций, будь то первоначальная модель «упругой кривой» Эйлера (возможно, дополненная введением сжимаемости) или же более тонкое описание стержня в „рациональной теории упругости" Трусделла и его последователей. Прежде всего надо найти конфигурацию, отвечающую с той точностью, какая является разумной; как мы видели в § 6, конечные отклонения не в точности дают синусоиду, хотя малые отклонения (с малыми х) очень близки к этому. Отметим, что здесь мы уже имеем дело с выпучиванием от ненулевого отклонения, так что имеются ненулевые вклады от Точное решение может оказаться возможным не в каждой модели, но достаточно хорошая оценка позволяет провести строгое количественное топологическое исследование. (В частности, мы имеем здесь в виду оценки нескольких первых тейлоровских коэффициентов, достаточно точные, чтобы можно было применять соображения

конечной определенности и трансверсальности независимо от того, где внутри этих оценок лежат „истинные" значения. Но то же самое относится, например, и к доказательству существования выпученного решения с помощью теории степени Лерэ — Шаудера, обеспечивающему возможность его вычисления „прямыми" вариационными методами.)

Далее следят за изменением этого решения при увеличении в нашем примере это аналитически легче проделать для нагрузки непрерывно распределенной по закону (а не сосредоточенной в точке), чем и объясняется популярность такой довольно-таки нефизичной постановки задачи. Прослеживается эволюция гессиана по мере „движения" состояния равновесия, и выводятся оценки, касающиеся того, где и как он становится вырожденным и какие члены до порядка имеются в соответствующей точке; при этом число определяется из следующего условия: оно должно быть достаточно велико, чтобы дать невырожденный результат; для большинства постановок этой „задачи об арке" берется равным 4. Наконец, изучается бифуркация вблизи этой точки.

Один из возможных приближенных подходов состоит в том, чтобы ограничиться рассмотрением какого-нибудь конечномерного подпространства возможных конфигураций. Здесь удобно выбрать, как это часто делают, плоскость Р форм вида

Ограничение, состоящее в том, что стержень должен иметь фиксированную длину, оставляет нам, конечно, от этой плоскости лишь некоторую кривую; серя для интеграла из § 5, выражающего длину, квадратичную по аппроксимацию, мы получаем, что эта кривая приблизительно представляет собой эллипс. (Таким образом, конфигурационное пространство при данных ограничениях оказывается не векторным пространством, а многообразием, топологически нетривиальным, за исключением бесконечномерного случая, где сферы стягиваемы.) Используя указанную аппроксимацию и заменяя энергию ее квадратичной частью по Зиман [113] показал, что при правильном выборе физических переменных глобальная геометрия катастрофы в этой системе совпадает с точностью до линейной замены координат с геометрией эллиптической качалки (§ 3 гл. 1) или эллиптического судна (§ 7 гл. 10) с соответствующим эксцентриситетом. Как будто эта глобальная топологическая структура сохраняется, если в задачу вводятся члены четвертого порядка, хотя доказательство еще не появилось.

Рис. 13.19

Наконец, можно рассмотреть конечно-элементный аналог. Читателю рекомендуется в качестве упражнения исследовать систему, изображенную на рис. 13.19; предполагается, что, воспользовавшись углом образуемым средним звеном с горизонталью, он проведет локальный анализ в духе § 4. (Множество возможных состояний топологически есть окружность, на которой 0 не всюду оказывается подходящей координатой; при глобальном исследовании системы выбор „меток“ для ее положений требует известной осторожности.)

Во всех обсужденных нами вариантах случай, когда подчиняется исходной симметрии „арки“ (является приложенной в центре, если нагрузка точечная, и симметрично распределенной в противном случае), приводит к 4-струе вблизи точки бифуркации с одной существенной переменной (скажем, и напоминает случаи из §§ 4 и 5, только знак при здесь отрицательный. Точно также как там введение дало нам универсальную деформацию, так и здесь мы получим ее с помощью почти всего, чем можно измерить асимметрию. Подходящей мерой будет расстояние от точки приложения до центра стержня (рис. 13.20); другой физически осмысленный вариант — снабдить один из шарниров А или В пружинкой. Взгляд на рис. 13.19 подсказывает много других возможностей, которые читатель приглашается исследовать. Однако любой одной из них, дающей вместе с универсальную деформацию, уже „достаточно"; локально действие любого другого возмущения задачи может быть описано как гладкая перепараметризация картины, даваемой и е. Эти замечания приобретают особое практическое значение в следующем параграфе, с некоторыми оговорками, обсуждаемыми в § 12.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление