Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8 Выпучивание пружины

В §§ 4 и 5 мы считали стержень несжимаемым по длине. Это приближение достаточно хорошее, и в действительности если бы мы рассматривали стержень как длинный тонкий кусок изотропного твердого тела с соответствующей сжимаемостью, то мы пришли бы к той же самой бифуркации катастрофы сборки. (Здесь структурная устойчивость сборки полезна в том отношении, что она позволяет нам понять, почему небольшая продольная сжимаемость „не должна" повлиять на задачу настолько, чтобы изменить тип выпучивания. Эта пренебрежимость очевидна для опытного инженера, но, как мы уже говорили в главе о судах, никто не родится с годами опыта. Более того, метод распространяется на новые и более тонкие случаи быстрее

Рис. 13.13

и с большими шансами на успех, чем интуиция.) Однако если взять что-нибудь, сжимаемость чего значительна по сравнению с жесткостью, например пружину, то наблюдается совершенно иное поведение. Для экономии места и времени мы рассмотрим конечно-элементный подход; он даст нам также весьма элементарную иллюстрацию следующего общего принципа проектирования, частным случаем которого служит принцип неустойчивости симметрий: выбор проектного решения, имеющий целью упростить вычисления, может усложнить задачу. (Предварительное исследование непрерывного варианта как будто дает такую же геометрию катастрофы, но мы пока не провели анализ до конца.)

Итак, рассмотрим систему, представленную на рис. 13.13, подобную системам на рис. 13.5-13.7, за тем исключением, что оба шатуна имеют здесь переменную длину Допустим что их сжатие пропорционально продольной нагрузке, и выберем единицы так, чтобы отвечающая сжатию энергия в каждом шатуне пол учила выражение (Мы используем без доказательства тот факт, что разность длин шатунов оказывается несущественной переменной вблизи невыпученных состояний; недоверчивый читатель может повторить наши рассуждения для случая с тремя переменными состояния.) Остальные переменные те же, что и в § 4. Полная энергия теперь будет равна

Произведем зависящую от замену

обратной к которой служит

В новых координатах а имеем

Беря разложение по , получаем

Ясно, что если равны нулю, то при условии равновесия и I должно обратиться в нуль (что и было причиной

выбора I в качестве координаты). Вблизи такого положения равновесия квадратичная часть выглядит следующим образом:

эта форма вырождается в точности тогда, когда коэффициент при равен нулю, т. е. когда продольная сила равна

Выбирая подходящее у, можно избавиться от корня и придать всем формулам более опрятный вид; простейший точный квадрат, меньший 1, есть

поэтому положим При этом для бифуркационной нагрузки получаем значения

Наибольший интерес представляет наименьшее значение, при котором происходит бифуркация, поэтому возьмем что дает и по-прежнему

Для выяснения природы этой струи мы должны убрать смешанный кубический член, что оказывается даже слишком простым:

струя, очевидно, не является 4-определенной. Значит, хватит заниматься упрощением арифметики. По соображениям симметрии -струя нам тоже не поможет, и мы должны рассмотреть -струю:

Эта струя 6-определенна согласно результатам гл. 4 и 6 или правилам гл. 8, и мы обнаруживаем, что поймали бабочку. Так как знак при 1/480 положителен, бабочка стандартная, а не двойственная. Для задач типа этой, где первоначальное рассмотрение заставляет допустить наличие симметрии, бабочки (стандартная и двойственная) должны быть столь же обычным для случая двух параметров (у нас у и как сборки (стандартная и двойственная) — для случая одного. (Те же условия симметрии в термодинамике производят в изобилии „трикритические точки“ - см. § 17 следующей главы — с двумя управляющими параметрами.) В теории упругости они встречаются редко (Томпсон и Хант [110]), так как в этой теории более чем один параметр зараз варьируется лишь в каких-то особых случаях (структурная оптимизация или анализ дефектов, см. ниже), но в упругих конструкциях они могут и не быть редкими. Наша бабочка очень естественно выпорхнула из вычислений. Посмотрим, как выглядит ее деформация.

Без всяких дополнительных вычислений мы знаем, что три параметра и не дадут универсальной деформации, так как коразмерность бабочки 4. Алгебраически дополнить деформацию до универсальной для -определенной функции тривиально (нужно просто дополнить кобазис для ее но для того, чтобы найти удобное „физическое" представление этих членов, требуется известное искусство. Здесь удобно выбрать в качестве четвертого параметра дефект настройки центральной пружинки, приводящий к отклонению от прямизны; в результате упругая энергия этой пружинки приобретает вид

(пружинка была налажена неправильно, и она старается привести сочленение к углу, отличающемуся на от развернутого). Полагая теперь

мы находим -струю полной энергии в виде

с точностью до поправочного члена (ограничиваясь членами первого порядка малости по С помощью

Рис. 13.14

Рис. 13.15

правил гл. 8 легко проверяется, что эта деформация универсальна и, значит, эквивалентна стандартной бабочке, изученной в гл. 9. Для читателя будет полезным упражнением найти замену для переменной а, которая устранит член восьмого порядка из продеформированной функции, и, опираясь на теорему 8.7, привести эту деформацию к стандартной форме. (Здесь существенно работать с расщепленными переменными

В совокупности с некоторыми более простыми вычислениями, показывающими, что для любого у мы имеем единственную бабочку при и что при другом бифуркационном значении всегда будет двойственная сборка, предыдущее дает полную картину поведения системы в отношении выпучивания в области невыпученных состояний. Опишем это поведение сперва для рисуя бифуркационное множество в плоскости при разных 7, как показано на рис. 13.14.

При малых у гибкость системы значительно выше, чем ее сжимаемость по длине, и при некотором малом значении мы получим выпучивание по типу стандартной сборки (рис. 13.14(a), слева), как это было изучено в § 4. Действительно, нагрузка, вызывающая выпучивание, та же с точностью до первого порядка по у. Единственное, что вызывается введением сжимаемости, — это рестабилизация по типу двойственной сборки при больших нагрузках с узкой областью устойчивости (рис. 13.14(a), справа). Так как значению отвечает в нашей модели нулевая длина, это значение не имеет физического смысла, если только не применены какие-нибудь специальные приспособления (рис. 13.15), чтобы удержать поведение в пределах области упругости и линейности.

Когда у, увеличиваясь, проходит через значение 3/32, мы проходим через точку бабочки, изученную нами выше; рис. 13.14(b) соответствует чуть большему, непосредственно следующему за этим значению у. Точка выпучивания, в которую мы приходим при возрастании и теперь будет двойственной сборкой, и, когда достигает этого значения, происходит „прощелкивание“ — выпучивание с щелчком, скачок в системе. Заметим, однако, что для у, лишь немного больших чем 3/32, система скакнет недалеко: два других листа минимумов еще близки. Если чуть отлично от нуля, скачок произойдет раньше; эксперименты с машиной Зимана, имеющей малое трение, показывают, насколько трудно подойти точно к точке двойственной сборки.

Продвигаясь дальше, мы получаем „условную" катастрофу, т. е. лишь при условии, что блюдется различие между „параметрами" конструкции вроде и „параметрами нагрузки" вроде и запрещаются замены координат, перемешивающие эти группы друг с другом. Именно, мы получаем катастрофу „клюв-к-клюву“ (Вассерман [111, 112]). Если же такое различие не блюдется, то это просто особый способ рассмотрения с помощью плоских сечений ребра возврата — искривленной линии сборок (рис. 13.16). К различиям такого рода мы еще вернемся ниже (§ 11). В нашем случае при становится возможным сжать систему до самого конца (в пределах применимости модели) без выпучивания. (Чем меньше , тем более деликатной будет эта операция вблизи середины пути: нужно удерживать и вблизи нуля и избегать „резких движений.") При этих значениях у побеждает жесткость.

Наконец, обсудим влияние ненулевого е. В отсутствие бабочки, вблизи точек сборки, как для системы из § 4, с помощью компенсирующего усилия можно эффективно устранить это влияние, ввиду универсальности и как параметров деформации. Это просто сместит точку сборки с оси на величину необходимую для того, чтобы удерживать систему в прямолинейном состоянии вопреки дефекту настройки пружинки. Но возле точки бабочки хотя и подавляет линейные по 8 эффекты, оставляет нескомпенсированным кубический член. Возле сборки этот член лежал бы в и не оказывал бы влияния с точностью до первого порядка (он касательный, как и квадратичный член в § 6 гл. 8), но для бабочки он становится трансверсальным, и картинка на рис. 13.14(b) изменяется под его воздействием примерно так, как показано на рис. 13.17(a) или в зависимости от его значения и значений других параметров. Детальное количественное исследование этого случая может быть проведено непосредственным применением методов гл. 9 к рассматриваемой деформации, но оно потребовало бы много места. Мы предоставляем провести его читателю. (Заметьте, что с глобальной точки зрения в этом примере, без усечения рядов Тейлора, переменные задают невырожденные координаты на многообразии катастрофы, в терминах которых можно полностью записать отображение катастрофы.)

Это описание структурно устойчиво, но стоит заметить, что возмущения должны быть „малыми" 6-го порядка, чтобы оно имело силу; в частности, для пружин закон изменения силы со сжатием должен быть близок к линейному с точностью до пятого порядка. (Например, если бы энергия в

Рис. 13.16

Рис. 13.17

Рис. 13.18

центральной пружинке была то мы бы обнаружили бифуркации более высокого порядка, коразмерности 6.) Однако то свойство, что имеется по меньшей мере катастрофа бабочки (при симметричной „совершенной" системе для устойчиво относительно гораздо больших возмущений, как можно показать с помощью количественной аранжировки геометрических рассуждений гл. 7.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление