Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7 Современный функциональный анализ

Чтобы проделать всё предыдущее „надлежащим образом", нам следует быть гораздо более точными в том, что касается пространства функций, описывающих возможные конфигурации. Чтобы уметь доказывать в конкретных случаях, что всё происходит так же, как при конечно-элементном подходе, мы нуждаемся в информации о структуре пространства Конечномерные вещественные векторные пространства имеют одинаковые топологическую и дифференциальную структуры, если их размерности совпадают. Бесконечномерные пространства разнообразнее. Грубо говоря, самые ручные из них — это гильбертовы пространства (обладающие „скалярным произведением" с хорошими топологическими свойствами), затем идут банаховы

пространства (в которых имеется удобная норма — мера „длины" векторов), за ними следуют пространства Фреше (с бесконечным числом „не совсем норм"), далее начинается вакханалия более слабых структур. В общем, большая часть конечномерного анализа проходит для банаховых пространств, хотя даже и в гильбертовых пространствах таятся штучки вроде тех, что обсуждались в § 3. Наилучшее изложение этого предмета, по-видимому, всё еще содержится у Дьёдонне [106]. За пределами банаховых пространств жизнь много тяжелее. Мы хотели бы подчеркнуть, что большинство более слабых („диких") структур было открыто в приложениях, а не изобретено извращенными теоретиками; на самом деле уже пространство ростков („локально определенных функций"), в терминах которого по-настоящему надо было бы формулировать теоремы гл. 8, чтобы их можно было доказывать, настолько слабо по своей структуре, с точки зрения аналитика, что ни один из существенных результатов анализа, скажем теорема о неявной функции, не доказан для него. (Нет даже хорошего определения касательного вектора для пути в нем!) Есть подозрения, что оно обладает некоторой более сильной структурой, чем выяснено до сих пор, именно потому, что справедливы результаты типа теорем гл. 8 (доказанные пока, как это нутром чувствуют некоторые аналитики, обходными методами), — но несомненно, что с ним всё же работать будет сложнее, чем с банаховыми пространствами.

Таким образом, всюду, где возможно, стоит переводить постановку вариационной задачи в рамки гильбертова или банахова пространства (или многообразия). Иначе многие интуитивно очевидные утверждения, полезные с вычислительной точки зрения, могут оказаться просто неверными, а не только трудными для доказательства. Для большинства задач упругости это может быть проделано, но соответствующие методы появились лишь недавно (после второй мировой войны, а не в 1744 г.) и они довольно удивительны.

Наиболее очевидным кандидатом на роль пространства в нашем примере, пожалуй, является пространство гладких функций, определенных на интервале от 0 до 1. При более либеральном отношении к делу можно было бы потребовать и меньшей дифференцируемости; возьмем, скажем, пространство раз непрерывно-дифференцируемых

функций для некоторого Поскольку в энергии встречается вторая производная, то как будто должно быть не меньше 2, а наличие четвертой производной в линеаризованном уравнении заставляет думать о значении 4.

Эти пространства могут быть снабжены структурами, которые превосходны для некоторых целей, но не для нашей! Эти структуры не связаны с рассматриваемой проблемой и не обеспечивают достаточно удобного поведения функции энергии с точки зрения возможности эффективного математического подхода. Для того чтобы обеспечить правильные свойства сходимости и пр. („правильные" означает здесь, что мы можем что-то доказать для нашей задачи), приходится допустить гораздо более странные функции — лишь тогда сходимость становится „послушной". Наилучшим для постановки задачи о стержне представляется (Чиллингворт [107], Болл [108]) гильбертово пространство, обозначаемое через

Описать его нелегко; есть пространство функций на данном отрезке, квадраты которых, а также квадраты обобщенных первой и второй производных которых интегрируемы. „Обобщенных" означает тут, что в классическом смысле производные вовсе не обязаны существовать, — это измеримые функции, определенные лишь с точностью до значений на (произвольном) множестве меры нуль. (Мощные теоремы вложения Соболева позволяют по меньшей мере думать о самих функциях из как о непрерывных в классическом смысле.) Пространство нужно, чтобы доставить эквивалент граничных условий так много топологии входит в его определение, что мы даже не пытаемся его здесь описывать. Мы просто не ввели подходящего языка.

В этой постановке вычисления § 5 получают строгое обоснование, и можно показать, что решения задачи ока зываются хорошими, классическими, гладкими функциями. (Все такие функции „включены" в пространство пространство гладких функций само по себе не дает достаточного топологического простора для решения задачи — хотя оно и содержит в себе ответы. Оно напоминает автомат по продаже карандашей с трехсантиметровой дыркой посредине — вы можете пощупать и покрутить карандаш, но не вытащить его.) Для более сложных задач выпучивания такая переформулировка повышает вычислительные возможности (см., например, статьи в сборнике [109] под редакцией Келлера и Энтмэна) и в то же время

Рис. 13.11. Конечно-элементная модель (не в равновесии).

необходима для теоретического осмысления осложнений, подобных упомянутым в § 3. Там, где эти математические строгие методы позволяют вдаваться в такие тонкости, классические вариационные методы просто дают неверные ответы — неверные теоретически, качественно и численно. Современный подход, основанный на функциональном анализе, является необходимым и прочно установленным развитием классической теории, с обширной литературой по практическим приложениям.

Этот подход проливает также яркий свет на природу моделирования. Мы вышли за пределы временного допущения о „конфигурациях, довольно-таки похожих на гладкие функции, если не рассматривать их слишком близко", сделанного нами в § 1. Мы делаем теперь очень тонкие предположения (типа квадратичной интегрируемости второй обобщенной производной), касающиеся как раз того, что бы мы увидели, если бы могли рассмотреть их достаточно близко; предположения, которые, как мы знаем, заведомо неверны. В каком смысле эти „инфинитезимальные" предположения можно считать моделирующими локальную усредненную природу упругих твердых тел, остается мерцающей в темноте тайной. Успехи модели в макроскопических предсказаниях действительно очень велики; но трудно сказать, в каком смысле эта теория более точна, чем приспособленный для вычислительных машин конечно-элементный подход, как в § 4, но с гораздо большим числом стержней и пружинок (рис. 13.11). (Часто наблюдаемая тесная связь между предсказаниями, даваемыми методом конечных элементов и непрерывным анализом, обстоятельно исследуется в книге Томпсона и Ханта [105].) Одна модель имеет число элементов, в бесконечное число раз большее числа упруго связанных молекул, составляющих стержень, другая — в конечное число раз меньшее. Выбор должен быть сделан на основе таких практических соображений, как стоимость, численное согласие и концептуальная ясность, а не на основе путаницы между точными вычислениями и точной теорией. (Мы включаем концептуальную ясность в число практических соображений вполне сознательно, так как длинные вычисления, которых вы не

Рис. 13.12. Стержень с одним защемленным концом.

понимаете, будь то перемалывание чисел или методы банаховых пространств, дадут вам мосты, которые быстро обрушатся. Теория хороша ровно настолько, насколько хорошо ваше понимание ее.)

Основанный на использовании гильбертова пространства подход к вычислениям в задаче о стержне из § 5 рассмотрен у Чиллингворта [107] с привлечением модели, заимствованной у Болла [108], которая близка к нашему взятию 4-струи (по функции энергии. (На первый взгляд разница между ними больше, но ее можно убрать с помощью диффеоморфизма.) В силу 4-определенности в точке выпучивания, модель (выраженная в терминах кривизны 0), неусеченная по и эквивалентна приведенной модели, и на этом каркасе можно построить доказательство устойчивости и универсальности подходящих трансверсальных деформаций. Кстати, Чиллингворт сначала проводит анализ для симметричного стержня со свободно опертыми концами, но затем вместо того, чтобы деформировать задачу (как у нас выше) с помощью ноеой нагрузки, он повторяет свой анализ для более сложной задачи, показанной на рис. 13.12, и деформирует ее универсально, варьируя угол, под которым закрепляется конец. Эта задача также приводится к стандартной сборке (на самом деле в обоих случаях видно, что приведение может быть осуществлено при сильной эквивалентности деформаций, для этого достаточно ввести в дело теорему 8.7). Мы не будем входить в подробности вычислений в гильбертовых пространствах, так как начальную часть книги мы употребили на изложение анализа лишь в конечномерных пространствах; однако некоторые общие вещи всё же уместно будет сказать.

Алгоритм приведения из гл. 8 здесь, конечно, не работает, поскольку он представляет собой способ распрямлять X „по одной размерности за шаг“; не работают и вычислительные методы, основанные на доказательстве леммы расщепления из гл. 6. Нужны сугубо бесконечномерные методы, и они появляются — самых разных очертаний и расцветок. В случае если задача сразу была явно сформулирована в терминах гильбертовых или банаховых

пространств, удобны методы, основанные непосредственно на доказательстве бесконечномерной леммы расщепления, данном Громоллом и Майером [100]. (Одна явная процедура (для универсальных деформаций) была предложена Мэгнусом [101].)

Значительная часть литературы по функциональному анализу посвящена в действительности методам строгого сведения бесконечномерного случая к конечномерному. Стоит, однако, спросить (как Ленин Брюс проповедника, стремившегося к царству божьему): Как знать, что с ним делать, когда получишь его?“ Невероятные теоретические усилия и вычислительное искусство были пущены в ход в бесконечномерном анализе для получения процедур приведения вроде метода Галёркина — Ритца, но возникающие в результате конечномерные задачи рассматриваются как более тривиальные, чем они есть на самом деле. В частности, в большинстве вопросов рассматривается лишь один управляющий параметр и встречающиеся особенности (гораздо более вырожденные — по построению, — чем фигурирующие в устойчивом или типичном одномерном семействе) не подвергаются деформации по другим параметрам. (Недавно стали появляться дву- и трехмерные деформации особенностей коразмерности восемь.) Вопросы структурной устойчивости как при возмущениях общего вида, так и при возмущениях, отвечающих специальным условиям задачи (типа симметрии), остаются благодаря этому вне поля исследования.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление