Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6 Анализ возмущений

В предыдущей главе при анализе асимптотики мы видели, что вблизи морсовской точки имела значение лишь квадратичная часть фазовой функции; поэтому коротковолновый предел (предел для случая малых длин волн) давал аппроксимацию, достаточную для многих практических целей. Здесь аналогичную роль играет „линеаризованная" теория, которую очень точно можно описать как предел для случая малых возмущений. Вблизи морсовского минимума (или седла) она дает хорошее описание, но при приближении к вырожденной критической точке приходится вернуть члены более высокого порядка. И стоит только случиться, чтобы вырожденность не имела специальных симметрий, которые выше убили кубические члены, или чтобы она давала особенность несколько более высокую, чем как простая „подстановка в линеаризованные уравнения" оказывается уже не заслуживающей доверия (как мы это видели). Иногда для того чтобы обратная подстановка в исходную функцию энергии стала надежным приемом, требуется аппроксимация более высокого порядка, чем та, которую дает прямая для кривой X — оси существенной переменной (аналогично и в случае конечного числа существенных переменных).

Наиболее строгими и общими являются процедуры расщепления, использующие структуру гильбертова или банахова многообразия на пространстве положений системы (мы обсудим этот вопрос подробнее в следующем параграфе), но топология банаховых пространств не войдет в минимум инженерного образования ни в этом, ни в следующем году. (В действительности нам приходилось изумляться тому, как инженеры производят вычисления с недоступной нам

скоростью и в конечной, и в бесконечной размерности и получают при этом вполне разумные ответы, — и всё благодаря теореме о неявной функции, о которой, по их словам, они и не слышали.) Когда выполняются условия леммы о расщеплении, многие методы могут использовать ее справедливость при достаточно невысоком уровне анализа. Один из наиболее важных приемов — прием асимптотического разложения, аналогичный до некоторой степени методам предыдущей главы, — был введен в инженерную практику Сьюэллом в и с тех пор широко и эффективно используется. Это метод статического возмущения. Если параметризовать X (мы применяем введенные выше обозначения) с помощью х, этот метод по существу означает, что мы последовательно решаем системы линейных уравнений всё более высокого порядка для отыскания членов тейлоровского разложения функции, определяющей вложение кривой (или поверхности, или многообразия) X в пространство положений. Не вводя топологии в это пространство, мы не можем по-настоящему говорить о таком разложении; однако благодаря тому, что фактически задача допускает более глубокие структуры, чем это здесь представлено, метод, как правило, очень хорошо работает и, кроме того, прекрасно переводится на строгий язык.

Мы не будем входить в детали вычислений, отчасти потому, что они подобны тем, что были проведены в предыдущем параграфе (хотя их здесь и больше), а отчасти потому, что они прекрасно описаны в книге Томпсона и Ханта [105], которую каждый, кто думает одновременно об инженерных вопросах и о теории катастроф, во всяком случае должен прочитать, измарать, выучить и переварить. Она как раз предшествует контакту ее авторов с теорией катастроф, но показывает своими многочисленными, отчасти эвристическими, параллелями с ней, насколько созревшей для такого контакта была их область исследований. Значительная часть их материала весьма существенна для эффективного использования теории катастроф в теории упругости.

В случае эйлерова стержня, параметризуя кривую X (ось существенных переменных) отклонением средней точки стержня и записывая

где — некоторые конфигурационные функции, Томпсон и Хант подсчитывают ([105], стр. 29—34), что в точке выпучивания

как мы уже видели (мы переводим их результаты в наши обозначения, при этом, к сожалению, их меняются ролями),

что можно показать, воспользовавшись соображениями симметрии,

а дальше уже ясно. (Вообще говоря, может быть и многомерным.) Рассуждение, использующее конечную определенность, показывает, что вопросы сходимости могут быть оставлены в стороне; но доказательство того, что то, что нужно аппроксимировать, существует, требует топологических методов типа описываемых в следующем параграфе. Когда задача надлежащим образом расщепляется, а уравнения, определяющие могут быть последовательно решены, подстановка возмущающего разложения до порядка по в точную функцию энергии даст правильные результаты, если возникающие многочлены от (или от являются -определенными. Иногда (как это имеет место для эйлерова стержня) правильные результаты получаются с меньшим разложением, чем такое, и тот факт, что часто достаточно уже первого члена, помог всей теории начаться два века назад, а затем помог ей расцвести. Сводка приемов, дающих возможность заранее узнать, как много членов разложения потребуется, принадлежит той монографии о вычислительных методах, о которой упомянуто во введении к гл. 8.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление