Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5 Классический (1744 г.) вариационный подход

Снова распределим „гибкость" по всей длине стержня и вернемся временно к симметричному случаю (рис. 13.8), т. е. к случаю в обозначениях предыдущего параграфа. Отметим, что тем самым горизонтальный стержень на рис. 13.5 и 13.8 считается невесомым. „Качественно", т. е.

Рис. 13.7

Рис. 13,8

топологически, никакая сила не является пренебрежимой, но количественно может быть малой. („Качественные" различия, как было замечено в § 10 гл. 10, могут быть тоньше количественных.) Мы все еще предполагаем, что стержень несжимаем по длине, которую примем равной 1; далее, мы предполагаем, что упругая энергия распределена по стержню пропорционально квадрату кривизны в данной точке с одной и той же константой пропорциональности. Будем считать, что конфигурация стержня описывается функцией

отображающей единичный интервал в плоскость, и проигнорируем (как это обычно делается) все горизонтальные смещения которые незначительны при малых отклонениях, за исключением смещения правого конца Так как концы стержня лежат на оси х, для них поскольку в концах нет изгибающего момента, для них также и (Совершенно иначе обстоит дело для заделанного (защемленного) стержня, у которого углы в концевых точках находятся под контролем.) Будем пользоваться обозначениями

Положим

(рис. 13.9). Тогда

(по цепному правилу). Кривизна по самому ее определению равна поэтому кривизна в

Значит, упругая энергия равна

Рис. 13.9

где — модуль упругости на единицу длины, соответствующий у из конечно-элементного метода. Аналогичным образом расстояние между концами стержня, пропорциональное раньше , теперь равняется

Таким образом, с точностью до константы потенциальная энергия, связанная с перемещением правого конца, равна 1 1

Теперь, как обычно, мы ожидаем, что бифуркация происходит, когда квадратичная часть полной энергии

становится вырожденной. В бесконечномерном случае невозможна проверка Н на вырожденность с помощью определителя, но мы можем продифференцировать и посмотреть, будет ли уравнение иметь ненулевые решения. В конечномерном случае существование такого решения эквивалентно вырожденности Н (если это утверждение не кажется вам очевидным, рассматривайте его как дополнительное упражнение к гл. 3). В бесконечномерном случае вырожденность — вещь более тонкая, как отмечалось в § 3, но существование указанных решений всё еще влечет за собой вырожденность Я, и мы допустим (как увидим, правильно), что в нашем случае этот критерий является полным.

Но как же дифференцировать по Здесь не место для систематического обзора вариационного исчисления с его ужасающим разнообразием используемых обозначений. Без такого обзора необходимые вычисления покажутся темными одним читателям, рутинно-скучными другим и никому ничего не прояснят. Достаточно будет сказать, что

уравнение это уравнение Эйлера — Лагранжа для приведенного выше интеграла с данными граничными условиями, которое запишется как

Как линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 1 с одной независимой переменной оно легко решается, и общее решение его такое:

Как легко проверить, граничные условия удовлетворяются, если и только если и величина кратна Поскольку при квадратичная форма Н, очевидно, положительно-определенна, мы имеем минимум энергии при до тех пор, пока возрастает до первой точки бифуркации, где существует первое нетривиальное решение уравнения т. е. первое вырождение Н имеет место для

Чтобы понять, как выглядит выпучивание, „вернем“ назад (некоторые) члены высшего порядка. Пространство существенных переменных (обозначим его, скажем, через X) одномерно (ибо таково пространство решений „линеаризованного" уравнения и представляет собой кривую в пространстве возможных решений, касательную к линеаризованному пространству решений — прямой состоящей из функций

для различных х. (Функция базисная для прямой аппроксимирующей криволинейную существенных переменных" X, носит название моды выпучивания.) Итак, мы аппроксимируем ограничение энергии на X ограничением ее на

Здесь есть момент, требующий известной осторожности, что мы можем ясно проиллюстрировать на конечномерном примере. Пусть

Квадратичная часть здесь равна просто и поэтому

линеаризацией уравнения

служит уравнение

Следовательно, (в наших предыдущих обозначениях) — это просто ось у. Ограничение на нее дает и положительный коэффициент 2 мог бы заставить нас ожидать, что универсальной деформацией будет стандартная катастрофа сборки.

Это не так.

Прежде чем приступать к заключениям, следует надлежащим образом отщепить несущественные переменные (о существовании которых нельзя забывать) посредством чего-нибудь вроде алгоритма приведения из гл. 8. Действительно,

и в координатах в которых расщепляется, 4-струя как мы видим, отрицательно-определенна по существенной переменной, и ее деформация будет представлять собой двойственную сборку (что означает совсем иное поведение). Таким образом, подстановка решения линеаризованного уравнения обратно в исходную функцию энергии не всегда приводит к качественно правильному ответу.

В этом примере все неприятности возникли из-за кубического члена. Если

для любых , то, как показывает анализ процедуры приведения (или общая теория), заменой переменной можно превратить 4-струю функции просто в Поэтому здесь подстановка у обратно в даст результат, сильно эквивалентный правильному, каковы бы ни были с и (в силу конечной определенности) высшие члены. Сходные результаты имеют место и в бесконечномерном случае (Мэгнус [103]), а отсутствие кубических членов как раз будет иметь место в примере, который мы рассматриваем.

Итак, параметризовав с помощью х, мы найдем правильную 4-струю энергии, ограниченную

Рис. 13.10

на X, из следующих вычислений:

Эта струя вырождения, как и ожидалось, при Беря получаем

— деформацию струи Как и в § 4, эта деформация ни универсальна, ни устойчива (за пределами четных функций), и нам нужно добавить еще асимметричную нагрузку. Для случая горизонтального положения стержня, к которому относятся все наши рисунки, этой нагрузкой мог бы послужить его вес, но с точки зрения легкости экспериментального варьирования лучше взять нагрузку, сосредоточенную посредине стержня (рис. 13.10). Это дает нам потенциальную энергию (высота средней точки стержня), что с точностью до членов первого порядка по х совпадает (благодаря касанию X и с

и, значит, с той же точностью является нечетной функцией от х. Таким образом, мы имеем деформацию, 4-струя которой равна

По симметрии член 5-го порядка по х в этой деформации исчезает, и поэтому точная функция энергии стержня (ограниченная на пространство X существенных переменных) сильно эквивалентна (в силу теоремы 8.7) функции

С точностью до положительных констант это как раз то, что мы получили в § 4, так что поведение в смысле выпучивания остается тем же самым. Хотя доказательства тут и заметно сложнее (мы еще немного поговорим об этом в § 7), но замечания об устойчивости, сделанные в конце § 4, остаются в полной мере справедливыми. Их практическая сила особенно убедительна в отношении чувствительности к несовершенствам, которая для различных систем рассматривается ниже. Здесь они предоставляют нам возможность ex post facto, но строго оправдать пренебрежение составляющей допущенное при постановке задачи, — если считать, что формальный аппарат, обсуждаемый в § 7, имеется в нашем распоряжении.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление