Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ЭЙЛЕРОВЫ СТЕРЖНИ

Мы начинаем разбор наших примеров со стержня, не потому что это последнее слово в науке о выпучивании, а потому что первое, — точно так же, как следующую главу мы начнем с уравнения ван дер Ваальса. Все новые продвижения в теории упругости, аналитические и численные, вначале проверялись на этом испытанном фаворите, именно по той причине, что этот пример столь хорошо понят, что может пролить свет на новые методы. Мы начнем фактически с простейшего возможного варианта.

4 Конечно-элементный подход

Мы займемся моделированием поведения длинного тонкого тела под действием сжимающих сил, приложенных на его концах. Терминология здесь меняется в зависимости от положения тела по отношению к вертикали (рис. 13.4); мы предпочтем нейтральный термин стержень.

Допустим, что продольная сжимаемость пренебрежимо мала по сравнению с деформациями изгиба стержня и что его концы свободно оперты; последнее означает, что они могут перемещаться лишь вдоль некоторой прямой, но не зажаты в определенном направлении. Дальше, допустим, что стержень все время находится в фиксированной плоскости; это предположение разумно для многих систем, так как обычно легко показать, что перемещениям, выводящим за пределы этой плоскости, отвечают несущественные переменные в смысле § 14 гл. 8. (Для некоторых систем это, конечно, не так.)

Прежде всего сосредоточим внимание на случае изгиба в одной точке. Именно (см. рис. 13.5), заменим наш стержень системой из двух жестких стержней (шатунов)

Рис. 13.5

шарнирными соединениями в точках А, В, С и пружинкой в В, которая стремится выпрямить шатуны в одну линию. Если пружинка линейна, она возбудит усилие пропорциональное углу на рис. 13.5, и будет обладать упругой энергией где у - „постоянная упругости" пружинки. Допустим, что каждый шатун имеет длину 1 (см. рис. 13.6). Суммируя упругую энергию пружинки и потенциальную энергию, отвечающую положению силы мы получаем полную энергию (с точностью до константы)

Значит,

откуда

Когда меньше имеет морсовский минимум при (и нетрудно увидеть, что это единственный минимум). Когда имеет вырожденный минимум, в котором немедленно узнается точка стандартной сборки, так как коэффициент при положителен. „Проводя" F через значение скажем полагая мы получим деформацию

Она универсальна среди четных функций (хотя мы и не дали алгебры, нужной для установления этого факта), и в действительности деформация исходной функции сильно эквивалентна вблизи интересующей нас точки деформации

Рис. 13.6

диаграмма катастрофы для которой представлена на рис. 13.7(a). Но симметрия является здесь, конечно, неприемлемой как абсолютное ограничение, введение же почти любой асимметричной силы (рис. 13.7(b)) приводит нас к обычной картине сборки (рис. 13.7(c)). Действительно, для силы такой, как показано на рисунке, имеем

так что

или

Отсюда следует по теореме 8.7, что сильно эквивалентна

а это, с точностью до линейной замены, стандартная сборка.

В отличие от рассмотренного выше симметричного случая это описание структурно устойчиво. Возмутим функцию заменив ее на где V — любая функция от и каких угодно других „управляющих" параметров, включенных в описание системы (разность длин шатунов, боковые смещения нагрузки угол между и перпендикуляром к и т. п.). Тогда при малых значениях и прочих дополнительных параметров сохраняется не только та же картинка, но и та же формула, с точностью до гладкой замены переменных. (Верны и более сильные — более „равномерные" утверждения, но здесь дело осложняется техническими деталями.) Точка острия, направление острия и пр. перемещаются плавно с изменением и дополнительных параметров. Все это — следствие универсальности трансверсальных деформаций и устойчивости трансверсальности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление