Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Новые моменты, связанные с бесконечномерностью

Когда предел устойчивости достигается таким удачным образом, как выше, редукция к конечному числу существенных переменных в позволяет ввести в действие весь остальной аппарат конечномерной теории катастроф. (Или можно прямо доказать результаты типа теоремы 8.6, при тех же предположениях о вырожденности гессиана, см. Мэгнус [101-103].) Но одно из следствий доказательства того, что при этих условиях все идет, как надо, состоит в более ясном понимании того, каким образом дела могут пойти не так, как надо. Это связано с новыми возможностями получить особенности, возникающими для гессиана функции на бесконечномерной пространстве. Их лучше описывать в терминах гессиана, рассматриваемого как линейный оператор; читатели, незнакомые с функциональным анализом, да простят нас за непонятность

следующих двух абзацев, но изложение соответствующих предварительных сведений заняло бы у нас еще целую главу.

Одно из осложнений просто состоит в том, что гессиан Н может вырождаться в бесконечно многих направлениях. Если задачу можно поставить в „хорошем" пространстве и нуль изолирован в спектре Н, то с этим можно сладить различными способами (Н должен иметь замкнутый образ), но все же пространство существенных переменных становится бесконечномерным, и коразмерность, разумеется, бесконечна. Это нельзя скинуть со счетов по соображениям типичности (особенно для „идеальных" систем, сходящих с чертежных досок), а вопросы, рассматриваемые в этой книге для конечномерных систем, не могут в этом случае изучаться теми же методами.

Другая возможность, интуитивно менее очевидная, заключается в том, что гессиан может стать особым не из-за того, что он вырождается в каком-нибудь направлении — как оператор он остается инъективным, — а из-за отсутствия сюръективности, хотя топологически образ его и будет плотным. Нам не удалось отыскать ни одного примера такого рода в специфически инженерных задачах (возможно, потому, что мы не знали, где искать). Однако математический анализ неоднородной „упругой нити", в которой локальное соотношение между растяжением и энергией не во всех точках нити биективно, приводит типичным и устойчивым образом именно к этому явлению (Мэгнус и Постон [104]). Редукция к одной существенной переменной (т. е. к одной моде выпучивания в терминологии, принятой ниже) оказывается невозможной вблизи точки бифуркации: гессиан не выделяет направления в пространстве конфигураций, вдоль которого энергия не возрастает. Тем не менее имеется вполне определенное многообразие равновесий, устойчивых или неустойчивых, геометрия которого устойчива и отвечает геометрии катастрофы складки. Еще неясно, насколько далеко можно обобщить этот пример на поддающиеся классификации семейства „нерасщепляемых" катастроф, связанные с семействами из гл. 7, где типичность и лемма расщепления позволяла нам сорить переменными, как деньгами.

Итак, мы не можем опираться на математическую „типичность" результатов, представленных в гл. 7, если только нет явных доказательств хорошего поведения гессиана. Но во всяком случае мы рассмотрим в этой главе запроектированные системы (см. сказанное о таких системах в § 3 гл. 7), для которых соображения типичности могут оказаться ненадежной опорой — выпученной тростинкой, если

Рис. 13.4

не «тростью надломленной». Более интересные для инженерных целей аспекты теории катастроф — это вычислительные приемы гл. 8, с помощью которых можно дать ответ на конкретные вопросы в тех конкретных математических задачах статической упругости, где удовлетворяются предположения леммы расщепления. Поскольку таким задачам посвящена значительная часть литературы, это условие нельзя считать чрезмерно ограничительным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление