Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2 Состояния упругого равновесия

Рассмотрим сложную упругую конструкцию, подвергнутую нагрузке А (рис. 13.1), и допустим, что она находится в устойчивом равновесии. Это физическое предположение мы отождествим с математическим предположением, заключающимся в том, что ее конфигурация С лежит в области в которой функция упругой энергии Ф определена и играет существенную роль в описании системы, и что функция полной потенциальной энергии

имеет в С строгий локальный минимум. (Здесь Г представляет собой чаще всего гравитационную потенциальную энергию, зависящую от положения конструкции и груза. Конечно, могут встретиться и другие консервативные силы.)

Увеличим немного нагрузку Л — конструкция слегка сместится; довольно долго ее конфигурация будет меняться плавно с нагрузкой. Математически можно обычно снабдить структурой, достаточной для того, чтобы решить, когда минимум в С оказывается морсовским, и затем, применив какую-нибудь бесконечномерную теорему о неявной функции, вывести это гладкое поведение, как в § 5 гл. 6, при одном внешнем параметре А. (Эта теорема, вообще говоря, неверна в бесконечномерном случае, если не является банаховым многообразием, поэтому здесь требуется осторожность.) Схематически это поведение обычно представляют так, как на рис. 13.2, где жирная кривая — это равновесный путь (или равновесная кривая), задаваемый соотнесением состояния равновесия каждому значению нагрузки . Нагрузка изображается на диаграмме высотой точки пути; — представительные координаты, описывающие конфигурацию конструкции и

Рис. 13.2

Рис. 13.3

фигурирующие здесь вместо бесконечного множества чисел, которое фактически требуется для полного описания Изучение равновесных путей и их бифуркаций занимает центральное место в литературе по теории упругости. В технической литературе обращение к теореме о неявной функции по поводу их существования само обычно является неявным, что, впрочем, относится и к значительной части вычислительной практики применения теории катастроф. Систематизация и прояснение таких вычислений при помощи топологических методов лишь теперь начинают объединяться с проведенным в большом числе примеров трудным анализом, и лишь после этого прояснения можно будет ожидать истинно новых результатов.

В то же время бывает, что в технической литературе явно поднимаются топологические вопросы; общие теоремы относительно подъема путей равновесия, обсуждавшиеся у Томпсона и Ханта [110], стр. 62, лишь недавно были уточнены и доказаны для произвольных конечных размерностей Кёйпером (личное сообщение Чиллингворту) с существенным использованием алгебраической топологии.

Ситуация, представленная на рис. 13.1, конечно, несколько необычна; чаще нагрузка оказывается распределенной. Если имеются две точки, в которых независимо могут быть приложены нагрузки (рис. 13.3), то „нагрузка" становится двумерной величиной и равновесный путь заменяется равновесной поверхностью (или поверхностыо равновесия), параметризованной вблизи морсовского минимума функции с помощью А. Если позволить нагрузкам менять точки приложения, то для описания нагрузки понадобится еще больше измерений, и мы будем иметь многообразие равновесия. Непрерывно меняющаяся от точки к точке нагрузка описывается функцией, и пространство возможных нагрузок становится бесконечномерным. Если (как это обычно бывает) может быть наделено структурой банахова многообразия, то рассуждения, которые приводят к кривой равновесия через морсовский минимум, обобщаются и на этот случай, и мы получаем локальное существование бесконечномерного банахова многообразия равновесия.

Ясно, что мы попадаем в обычную для теории катастроф ситуацию, с А в качестве внешнего(-их), или управляющего(-их), параметра(-ов) и с кривой (поверхностью, многообразием) равновесия в качестве многообразия катастрофы. Правда, когда мы приближаемся к особенности, все немного усложняется. В механике обычно оказывается, что способ, которым рассматриваемый минимум становится

неморсовским (при изменении ), подобен конечномерному: гессиан приобретает конечное число направлений, в которых он вырождается, а другие направления четко отделяются с помощью бесконечномерного аналога рассуждений § 5 гл. 2. Вблизи точки, где это происходит, также оказывается справедливой и лемма расщепления в параметрической форме (§ 4 гл. 6); на самом деле, хотя доказательство для конечномерного случая использует лишь совершенно элементарные соображения, первое вообще опубликованное доказательство было как раз бесконечномерным и появилось лишь в 1969 г. (Громолл и Майер 1100]). Та часть расщепления, которая относится к теореме о неявной функции (и дает локальное существование подмногообразия существенных переменных, но без униформизации квадратичной части в остальных точках), насчитывает уже около 70 лет и известна как процесс приведения Ляпунова — Шмидта; ее таким же образом можно использовать и для многих других целей. Справедливость указанного результата лежала в основе практического успеха вычислений в теории упругости, основанных на линеаризации и обратной подстановке, как ниже в § 5, и проводившихся начиная по крайней мере с 1744 г. (Эйлер [95]),- метод, который работает потому, что он аппроксимирует возможную редукцию к конечномерному случаю. Эта связь между топологией (также идущей от Эйлера) и механикой более тесная, чем мог предвидеть даже этот величайший из умов, которые дала Швейцария.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление