Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

1. Тела под нагрузкой

Рассмотрим типичную инженерную конструкцию несущую нагрузку, — мост или, скажем, кран. Совершенно жесткие конструкции невозможны, но в большинстве практических случаев форма не изменяется, покуда влияние нагрузки (включая собственный вес сводится к легкому растяжению или сжатию частей, из которых состоит. Значительные изменения происходят, когда эти части радикально меняют форму — когда они разрушаются или выпучиваются. Мы не будем здесь заниматься разрушением, так как для изучения возникновения и динамики разрушений приходится существенно привлекать микрофизику используемых материалов. (Это не значит, что математические методы нашей книги не могут быть применены в этой области — по всей вероятности могут, — но такие приложения пока еще не развиты.) Говоря широко, имеются два типа выпучивания: упругое, или обратимое, изменение формы под напряжением и пластическое, или необратимое, изменение.

Большинство обычных, используемых в быту „пластмасс“ являются упругими по существу вплоть до момента разрушения. Возьмите пластмассовую линейку — трудно согнуть ее так, чтобы ее форма оказалась нарушенной остаточно; если попробовать этого добиться, то скорее всего она сломается. Большинство бытовых металлов упруги лишь при сравнительно малых деформациях. Согните телевизионную антенну немного, как это делает ветер, и она, спружинив, вернется в исходное состояние; но согните ее больше, и она останется изогнутой.

Как наглядно показывают эти примеры, имеется различие между упругим и пластическим поведением, а не между упругими и пластическими материалами. Сверх того оно далеко не абсолютно: есть материалы, которые можно деформировать и оставить лежать с явно измененной формой, но днем позже (подобно мозгу бюрократа, которого, как вам кажется, вы в чем-то убедили) они выглядят так, как будто их никогда не трогали; медленно, но неуклонно они возвращаются в исходное состояние. В большом масштабе времени это поведение можно было бы рассматривать как совершенно упругое, но в масштабе времени разрушения моста о нем надо думать как о пластическом.

Не входя в обсуждение различных возможных определяющих уравнений, описывающих поведение твердых тел, и их классификацию, мы примем, что для данного упругого

тела В каждой конфигурации С, в которой оно может оказаться, отвечает единственная упругая энергия Конфигурацию С естественнее всего определить как функцию задающую положение в трехмерном пространстве каждой рассматриваемого тела. Совокупность всех возможных конфигураций, ясное дело, бесконечномерна. Те конфигурации, для которых гипотеза „упругости" может служить полезным приближением, очевидно, никогда не будут составлять всего пространства отображений поэтому будет областью в этом функциональном пространстве, а не всем пространством.

Если рассматривать В как обширное, но конечное множество точек-атомов с определенными силами взаимодействия между ними, то будет обширным, но конечномерным — и суммировать невозможно... Станем трактовать атомы квантовомеханически, что более реалистично, — и снова бесконечномерно... В этой главе мы считаем В непрерывной областью с тонкой структурой, позволяющей нам дифференцировать С по Как и в случае жидкостей (см. обсуждение в начале гл. 11), мы знаем, что строго говоря это неверно. Ключевые понятия теории упругости — напряжение, деформация и пр. — определяются формально как пределы, связанные с рассмотрением произвольных малых частей тела, но они имеют смысл лишь постольку, поскольку они представляют среднее поведение, отвечающее усреднению по областям, большим по сравнению с атомами.

Мы делаем эти замечания, вовсе не имея в виду нападать на стандартные математические модели механики сплошных сред, общепринятые и используемые нами дальше, но лишь для того, чтобы показать, как вообще расходятся описываемый объект и даже наилучшим образом установленная и применяемая на практике его модель. Это расхождение имеет следствием практическую бесполезность различий, делаемых между „точными" и „приближенными" решениями в рамках данной модели, в случае когда хотят говорить о различиях более тонких, чем позволяет согласованность модели и объекта, — а она никогда не может быть совершенной. Нашей целью было заметить, что большая часть печатной критики в адрес теории катастроф в равной мере относится к любой математической модели вообще, включая сюда и те, которые критики привыкли рассматривать как просто „верные". К моменту, когда пишутся эти строки, еще не опубликовано ни одного критического замечания в адрес теории катастроф как таковой; к сожалению, всё, что говорилось, приложимо ко

всем математическим моделям вообще или же направлено на чучело, созданное популярными статьями. Имели место полезные нападения на отдельные модели, предложенные специалистами по теории катастроф, но не было хорошего методологического наступления, основанного на понимании принципов (подобного тому, которое было предпринято епископом Беркли [99] на дифференциальное исчисление), и это позволило разным паразитическим грибкам нарасти на нашем предмете. Доза понимающего критицизма оказалась бы очень ценной, и такой критицизм можно было бы только приветствовать.

Итак, мы рассматриваем пространство конфигурационных функций, причем каждой сопоставлена упругая энергия На принятом нами языке Ф есть функция из в На заре вариационного исчисления функция, областью определения которой служит функциональное пространство, была окрещена функционалом, поскольку такие функции казались принадлежащими к новому роду вещей (а выражение „функция от функции" имело уже в математике свое употребление, хотя и неудачное, — так называли композицию функций, переводящую х, скажем, в Отсюда пошло название предмета „функциональный анализ", которое надо понимать как „анализ функционалов", а не как понимают словосочетания „функциональное расстройство", „функциональная архитектура". В математике под „функционалом" в конце концов стали понимать обычно вещественную функцию, определенную на банаховом 2 пространстве, включая сюда и случаи, когда банахово пространство конечномерно или не является пространством функций. В механике слово „функционал" стало сигналом того, что речь идет о „точной" бесконечномерной формулировке, а не ее конечномерной аппроксимации. Оно используется и там, где конфигурации образуют не векторное пространство, а многообразие (как в случае машины Зимана, положения колеса которой образуют окружность, а не прямую). Ни в одном из своих употреблений оно не является необходимым, и раз тема

Рис. 13.1

этой главы лежит на „ничейной" земле между приложениями и чистым анализом, мы отбрасываем этот термин. Слово „функция" в этой главе будет включать в себя все значения, которые иногда оставляют за „функционалом". Соответственно мы снабдим область структурой, достаточной для того, чтобы возможно было применять большую часть конечномерного дифференциального исчисления; эта структура будет становиться все более сложной с технической точки зрения по мере нашего продвижения вперед.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление