Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13. УПРУГИЕ КОНСТРУКЦИИ

В этой главе мы обсуждаем самый старый контрпример к утверждению „теория катастроф — первый математический метод, способный дать толкование явлениям, связанным с расходимостью". Выпучивание стержня в ту или иную сторону при увеличении нагрузки относится как раз к таким явлениям, и оно было впервые изучено Эйлером еще в 1744 г. [951: Многие аналогичные задачи теории упругости могут быть поставлены и решены на языке теории катастроф, но большинство примеров в этой области, приводящих к низшим катастрофам, было настолько хорошо понято инженерами на их собственном языке прежде, чем „теория катастроф" стала существовать, что мы не можем ожидать, чтобы новая математика принесла им тут новую важную для практики информацию, — разве что новые формулировки, которые многие инженеры сочтут бесполезными.

Все же теория катастроф окажется полезной и в этой области; но она прольет новый свет лишь в сложных случаях, изучение которых с этой точки зрения только началось. Это поставило перед нами свои проблемы, когда обдумывалась настоящая глава. Строгий прямой подход, проведенный для этих случаев в рамках соответствующих пространств Соболева, был бы доступен лишь узкой аудитории (состоящей из специалистов, которые все равно усвоят эти методы, как только строгие приложения получат достаточное распространение). Но наша главная цель здесь — показать теорию катастроф в действии широкой научной аудитории.

Поэтому мы начнем с простых примеров, в которых инженерное дело вносит ясность в катастрофы (а не наоборот), и будем постепенно продвигаться к более сложным где уже теория катастроф начинает вносить ясность в проблему выпучивания. Даже при том, что всюду, где только можно, мы опускали подробности, глава получилась длинная, а разнообразие тем, которые мы вынуждены были оставить в стороне, в этой области, где раньше, чем где бы

то ни было, предчувствовалась теория катастроф, делает ясным, что здесь необходима монография. По той же причине недостатка места мы будем придерживаться терминологии и точки зрения, принятых в остальной части нашей книги, а не в инженерной практике, потому что последнее потребовало бы большого введения. Надеемся, что мы тем самым достигнем нашей двойной цели — продемонстрируем новые возможности инженерам, имеющим склонность к математике, и одновременно развернем перед остальными читателями галерею важных примеров геометрии катастроф.

Наконец, заметим, что недостаток времени и места не позволил нам обсудить приложения к вариационной теории пластического выпучивания, что мы сначала надеялись сделать. Представляется ясным, что бифуркации в вариационных задачах, рассмотренные Сьюэллом [96, 97], поддаются исследованию топологическими методами — и, несомненно, топологический подход к особенностям „поверхности текучести" должен оказаться интересным, — но развивать эту тему здесь мы не имеем возможности. Важность пластического выпучивания на практике не уменьшает важности анализа упругого случая; процитируем Баттерворта [98]:

„... эффекты пластичности проявляются по мере возрастания деформации 1 как до, так и после того, как происходит теоретическое упругое выпучивание. Эта возможность лишь подчеркивает необходимость аккуратного анализа нелинейной упругости, ибо как еще можно определить напряжения в материале, с тем чтобы знать момент достижения напряжения текучести?"

Мы верим в то, что теория катастроф внесет в свое время вклад в изучение упруго-пластических задач, и во всяком случае мы хотим привлечь внимание дифференциальных топологов всех направлений к области, где, один раз освоившись с обозначениями, они найдут массу великолепных задач себе по сердцу.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление