Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Кубические формы от двух переменных

Теперь мы займемся аналогичной проблемой классификации кубических форм, решение которой послужит нам в гл. 7 ключевым шагом к классификационной теореме. Так как

мы сведем там задачу к случаю форм от двух переменных, исследованием этого случая мы здесь и ограничимся.

Кубическая форма (кубика) от двух переменных х, у — это выражение

с вещественными коэффициентами Обозначим через К четырехмерное пространство всех таких форм; его можно отождествить с приняв в качестве координат.

В § 5 мы нашли шесть типов квадратичных функций (а с точностью до знака четыре). Аналогично имеются пять типов кубических форм; знак на этот раз никакой роли не играет, так как его всегда можно изменить на противоположный, произведя замену . Для описания этих пяти типов удобно ввести в рассмотрение корневое множество формы А — множество

тех точек, в которых форма обращается в нуль. Если то ясно, что и Значит, для любой формы А множество состоит из прямых, проходящих через начало.

Чтобы выяснить, как эти прямые могут располагаться, найдем их пересечения с прямой (Здесь возникает небольшая трудность, связанная с тем, что ось у не пересекает этой прямой; поэтому ось у приходится рассматривать отдельно. Имеющие счастье быть знакомыми с проективной геометрией могут с равным успехом ввести „точки на бесконечности".) Положив мы приходим к кубическому уравнению относительно у

Оно имеет не более трех решений (если только перед нами не случай значит, имеется не более трех корневых прямых (рис. 2.7). Что касается оси у, то она задается уравнением Но служит решением, в точности тогда, когда а тогда наше кубическое уравнение превращается в квадратное, с самое большее двумя решениями. Снова получается всего не более трех прямых. Таким образом, возможности для таковы:

(i) три различные прямые, как на рис. 2.7 и 2.8(a);

(ii) одна некратная прямая, как на рис. 2.8(b);

(iii) три прямые, две из которых совпадают" между собой, как на рис. 2.8 (с);

Рис. 2.7

(iv) три совпадающие прямые, как на рис. 2.8(d);

(v) вся плоскость, в случае .

Ясно, что никакой заменой координат нельзя изменить число корневых прямых, которые имеет данная кубическая функция. (Заметьте, что важно делать различие между „функцией Р на плоскости, задаваемой в координатах х, у выражением и „многочленом . Если мы введем новые координаты то функция получит в этих новых координатах новое выражение Иными словами, одна и та же полиномиальная функция может иметь много полиномиальных выражений.) Далее, никакой гладкой заменой нельзя перевести случай (iv), в котором градиент функции обращается в нуль на целой прямой, в случай где он обращается в нуль только в начале. Следовательно, структура корневого множества определяет разбиение пространства К на пять классов.

Замечательным образом оказывается, что для любых двух кубических функций принадлежащих к одному и тому же классу, мы можем найти линейную замену координат, такую, что имеет в новых координатах то же самое выражение, какое имела в старых координатах. Значит, точностью до замены координат" они представляют собой одно и то же; более аккуратно: в некотором очень сильном смысле они имеют одну и ту же форму.

Начнем со случая (i) трех различных корневых прямых. Всегда можно нарисовать параллелограмм, как на рис. 2.9(a), две стороны которого идут по двум из этих прямых, назовем их прямыми 1 и 2, а диагональю служит третья

Рис. 2.8

прямая (прямая 3). Выберем новую систему координат и, у, в которой осью и служит прямая 1, а осью и — прямая 2, причем масштабы подберем так, чтобы стороны нашего параллелограмма имели единичную длину (см. рис. 2.9(b)). В этих новых координатах уравнения корневых прямых выглядят так:

Значит, если или обращается в нуль, то и тоже. Отсюда следует, что лишь скалярным множителем отличается от и дальнейшим изменением масштаба мы можем привести к виду

Итак, любые две кубики с тремя различными корневыми прямыми могут быть приведены к одному и тому же виду

В остальных случаях — за исключением тривиального случая , который мы будем дальше игнорировать, — мы всегда располагаем по крайней мере одной корневой прямой и, используя ее, как и выше, можем выделить в линейный сомножитель. Именно, если уравнение этой прямой имеет вид

то должно быть делителем Значит, представимо в виде

даже без всякой замены координат. Используя теперь результаты § 5, мы можем найти координаты и, у, в которых квадратичный сомножитель упростится; линейный сомножитель при этом перейдет в с какими-то и М. Знак квадратичного члена можно передать линейному, и, таким образом, мы можем представить в одном из следующих трех видов:

Покажем, что случай (а) либо отвечает рис. 2.9, либо сводится к случаю а затем мы рассмотрим случаи (Ь) и Выражение допускает дальнейшее разложение на

Рис. 2.9

множители:

Если множитель не является скалярным кратным или то мы имеем рассмотренный выше случай трех различных прямых. Если же он является таким скалярным кратным, то либо либо Положив мы получим, что делится на т. е. мы попадаем в случай

В случае если введем новые координаты

в которых получает выражение Если то эта замена незаконна, но тогда мы можем взять и привести к виду

В случае если либо либо М равняется нулю, то, изменив масштаб и переименовав (если надо) оси, мы приведем к виду . В противном случае повернем оси, положив

После несложных выкладок мы придем к выражению

а изменение масштаба превращает это в .

Итак, подходящей линейной заменой координат мы всегда можем привести однородную ненулевую кубику к одному из выражений

Они имеют корневые множества типов (i), (ii), (iii), (iv) соответственно и, значит, геометрически все различны. Таким образом, имеются в точности четыре типа кубик от двух переменных плюс еще нулевая кубика. Для „наведения блеска" произведем еще в выражении замену

переводящую его в Для единообразия будем и в остальных случаях писать х вместо и у вместо V. В результате мы получаем следующий список стандартных кубик:

Теперь посмотрим, как эти четыре типа расположены в четырехмерном пространстве К кубических форм. Иными словами, мы хотим найти аналог рис. 2.6. Поскольку К. четырехмерно, мы вынуждены прибегнуть к какому-нибудь трюку, чтобы „спустить" геометрию до двух размерностей бумаги.

Искомый трюк заключается в том, чтобы игнорировать масштаб. Умножение квадрики на ненулевую положительную константу с не изменяет ее типа, так как это изменение можно свести на нет заменой переменных на Точно также и для однородных кубик мы можем скомпенсировать умножение на константу изменением масштаба, а именно умножением переменных на кубический корень из этой константы. Рис. 2.6 восстановится полностью, если взять единичную сферу

с центром в начале, нарисовать на ней две окружности, как на рис. 2.10, и построить под ними конусы с вершиной в начале. Эти две окружности представляют квадратичные формы , которые лежат на единичной сфере и удовлетворяют условию Подобным же образом мы можем описать распределение кубик различных типов в К, выяснив сначала, что происходит на трехмерной сфере

и затем построить соответствующий конус, выпустив лучи из точки (0, 0, 0, 0).

К несчастью, в физическом мире нет доступной нам трехмерной сферы (если не считать, быть может, всего мира целиком, или, точнее, его пространственно-подобного сечения), так что мы вынуждены пойти на некоторое искажение картины, чтобы сделать доступной для обозрения интересующую нас геометрию, не производя чересчур радикальных изменений. Та же проблема возникает и на рис. 2.10, это извечный кошмар картографов — представление поверхности сферы на плоскости. Проблема эта решается точно таким же образом: взятием „проекции", которая приводит к серьезным искажениям лишь достаточно далеко от интересующей нас области. А. именно, если мы назовем точку (0, 1, 0) северным полюсом, а антиподальную точку — южным, нам надо будет сначала, гладко растягивая некоторые части сферы и сжимая другие, передвинуть наши две окружности „вниз“, к южному полюсу. Затем мы можем „распределить" подходящий кусок сферической поверхности

Рис. 2.10

вблизи южного полюса, не нарушая конфигурации окружностей.

Аналогичную операцию мы можем применить к трехмерной сфере кубик, „распрямив" ее в обычное трехмерное пространство. Это приводит к имеющей красивую форму поверхности, показанной на фото 1. Эту поверхность можно описать как „скрученную поверхность вращения" — результат движения гипоциклоиды с тремя остриями (рис. 2.11) вдоль окружности (в каждый момент окружность пересекает ортогонально плоскость гипоциклоиды в ее центре), причем по ходу движения гипоциклоида вращается в своей плоскости так, что успевает сделать треть полного оборота.

Различные типы кубик занимают определенные положения по отношению к этой поверхности. На фото 1 кубики типа (i) находятся внутри поверхности, типа (ii) — снаружи нее; кубики типа (iii) лежат на гладкой части поверхности, типа (iv) — на ее заостренном ребре. Эта геометрия согласуется с различными выводами, которые можно сделать на основании рис. 2.8. Так, типы (i) и (ii) разделяются между собой типом (iii) (вместе с типом (iv)). Небольшими изменениями тип (iii) можно перевести как в тип (i), так и в тип К типу (iv) сколько угодно близко „подходят" все остальные типы.

Зиман, первым изучивший эту поверхность, назвал ее браслетом омбилик; „омбилик" — от тех катастроф, которые связаны с кубиками, а „браслет" — от склонности его жены к украшениям. В статье Зимана [7] дается полное доказательство того, что картина, представленная на фото 1,

Фото 1. Браслет омбалик, вырезанный из твердого клёна Тимом Постоном,

точна, но для нас это неважно. Картина помогает объяснить некоторые из утверждений гл. 7, но доказывать их лучше более мощными методами. Геометрия браслета омбилик впервые существенным образом появляется при анализе восьмимерных катастроф, известных как двойные сборки.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление