Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12 Звуковые удары

Оптические каустики производят миражи; „Миражи" производят звуковые удары (хлопки); звуковые удары производят ударные каустики, или сверхудары.

Мы вынуждены из-за недостатка места опустить приложения теории катастроф к изучению образования ударных волн, и это жаль, так как их история объясняет название катастрофа Римана — Гюгонио для сборки Уитни (Том [84]); более короткое название fronce (сборка), как и queue d’aronde (ласточкин хвост), идет от Бернара Морэна. Кроме того, строгая теория (см. Гукенхаймер [85] и Голубицкий [86]) развита пока лишь для уравнений более простых, чем встречающиеся в реальной физике, хотя присутствие геометрии катастроф в реальных проблемах прекрасно видно из рис. 12.34. Все же мы можем продемонстрировать здесь пригодность теории катастроф для объяснения процесса прохождения ударных волн на большом расстоянии от их источника. Мы начинаем с чрезвычайно упрощенного описания причин возникновения звуковых ударов, а потом уже перейдем к изучению их геометрии.

В каждый момент самолет производит массу возмущений воздушной среды (шум двигателя, отбрасывание воздуха в стороны и пр.), которые распространяются радиально от места возмущения. При малых скоростях самолета они распространяются вперед так же, как и назад (рис. 12.35(a)), — самолет не поспевает за ними. На

Рис. 12.34. Огибающая, дающая конус Маха, в плоскости для крыла, вид которого в плане задается уравнением (Дейвис 187]).

Рис. 12.35

Рис. 12.36

сверхзвуковых скоростях он обгоняет их (рис. 12.35(b)), и получающаяся огибающая образует ударную волну. Вблизи самолета всё много сложнее, чем показано на рисунке, имеются отдельные ударные волны от носа и хвоста и т. п., но на больших расстояниях такие эффекты роли не играют.

Мы не будем заниматься здесь рассмотрением ударной волны как огибающей, а вместо этого будем трактовать ее как волновой фронт и применим для изучения этого фронта геометрическую акустику. В большинстве оптических проблем идея волнового фронта не слишком полезна, являясь приближением, эквивалентным геометрической оптике и менее информативным вблизи устойчивых каустик. Никакая вспышка света не будет настолько короткой, чтобы служить аппроксимацией волнового фронта, но для звукового удара это возможно. Он имеет сложную тонкую структуру, но его распространение в атмосфере может быть подсчитано — и обычно так и делается — по аналогии с геометрической оптикой.

Рисунок 12.35(b) демонстрирует форму ударной волны в однородной спокойной атмосфере; это — совершенный конус. Но вне стен лаборатории воздух не однороден; он теплее у земли, и потому скорость звука там выше. Значит, нижняя часть волнового фронта движется быстрее верхней, и поэтому она загибается вперед и, возможно, вверх (подобно свету, который ускоряется в горячем воздухе вблизи земли, как на рис. 12.32). В результате, если самолет находится на достаточной высоте и движется со скоростью, не превышающей примерно 1.3 М, то звуковой удар от него вообще может не дойти до земли. На рис. 12.36 изображена относящаяся сюда геометрическая акустика: „ударные лучи, испускаемые самолетом" в каждый момент (под прямым углом к начальному коническому волновому фронту), загибаются кверху, как только что было описано, и образуют горизонтальную каустику складки. Мы нарисовали более жирными уже пройденные части лучей, а самая жирная линия изображает результирующую форму ударной волны в какой-то определенный момент времени.

К сожалению, эту каустику не всегда возможно удержать над землей (при выполнении пилотами гражданской и военной авиации текущих заданий), и тогда приобретает особую важность то свойство каустик, благодаря которому они получили свое название, — высокая интенсивность энергии.

Как и в оптике, интенсивность, предсказываемая на основании лучевого подхода, бесконечна, что неправильно. Но правильные предсказания в этом случае делать гораздо сложнее, ввиду того что принцип линейной суперпозиции

Фото 15. Последовательные стадии фокусировки для четырех различных интенсивностей удара; сборка (arete). Слева указаны числа Маха; показана эволюция во времени I. (Стёр-тевант и Калкарни [§§], рис. 17.)

решений, из которого исходят методы быстро осциллирующих интегралов, описанные выше (служащий хорошим приближением и принимаемый в качестве аксиомы в волновой оптике и квантовой механике), оказывается неверным для ударных волн. В оптике функция Эйри для правильных интенсивностей вблизи каустики складки известна с 1838 г., в то время как в соответствующем анализе для звуковых ударных каустик мучились с бесконечностями еще около 1972 г.! Чтобы получить такую картину, как на рис. 12.37 (Ь), описывающую „истинное локальное поведение", нужны поправки, за которыми стоят методы гл. 5 и 6. (На самом деле геометрия ударных волн на некотором расстоянии за сборкой для „слабых" ударов примерно та же, что и предсказываемая геометрической (лучевой) теорией, но для сильных совершенно другая; звуковые удары на достаточном удалении от самолета бывают, однако, обычно „слабыми.")

И саму теорию быстро осциллирующих интегралов не назовешь тривиальной, а требующееся здесь ее обобщение, очевидно, выходит и за рамки квадривия Мы можем лишь отослать более подготовленного читателя к соответствующим теоретическим и экспериментальным работам, например к статьям Обермайера [88] и Стёртеванта и Калкарни [89]. Фото 15, взятое из последней статьи, демонстрирует

Рис. 12.37. Фокусировка слабого удара: (а) согласно геометрической акустике (линейная теория) ; согласно (нелинейной) динамике ударных волн. [Стёртевант и Калкарни .)

геометрическое богатство сборки (называемой там arete); слабые ударные волны развиваются так, как предсказывает лучевая теория (рис. 12.38), но с сильными дело обстоит гораздо сложнее.

Каустики складки могут подходить к земле различными способами; на рис. 12.39 показано, как это происходит при одном редком (но экспериментально вполне осуществимом) маневре самолета. Равномерный поворот производит сходный эффект (рис. 12.40), даже и в однородной атмосфере. Начало поворота дает каустику сборки (рис. 12.41 (а)), точно так же как и пикирование (рис. 12.41(b)).

Благодаря тому что каустики складки имеют по своей природе коразмерность один, с ними легко управиться в эксперименте; с землей они встречаются по линиям, и достаточно плотная цепочка микрофонов заведомо поймает ее одним из них.

Рис. 12.38

Рис. 12.39. Форма ударной волны и ее пересечение с поверхностью земли при прямолинейном равноускоренном движении самолета. Высота полета ускорение (Ваннер, Валле, Вивье и Тери [90]).

Рис. 12.40

Сборки же дают кривые в трехмерном пространстве, а на уровне земли — лишь отдельные точки (вроде точек С на рис. 12.41 (с), где представлен трехмерный результат маневра, изображенного на рис. 2.41 (Ь)). Поскольку ввиду меняющегося ветра и т. п. предсказать соответствующее положение на земле лучше чем с точностью до нескольких километров тяжело, эксперимент оказывается весьма сложным. (Заполнить с достаточной плотностью несколько квадратных километров микрофонами — дорогое удовольствие. Но так как большие территории, плотно заполненные людьми, — распространенная вещь, высокие интенсивности „сверхударных" каустик сборки изучить очень важно.) Французской рабочей группе, экспериментировавшей с самолетом „Мираж IV“, удалось получить точку сборки удивительно близко от линии микрофонов при проведении серии испытаний, метко названных Jericho-Carton (визитная карточка иерихонской трубы). На рис. 12.42

представлены записи, собранные вдоль этой линии в одном из испытаний; ясно видна форма ласточкина хвоста, равно как и более тонкая структура, например более высокая интенсивность в точках каустики складки (сборки на волновом фронте). Интересно отметить, что там, где два листа пересекаются, они складываются более или менее линейно, там же, где они интерферируют на каустике, получается более сложная картина и более высокая интенсивность.

Всё что сейчас описывалось, было проделано без всякой теории катастроф; мы лишь интерпретировали это в ее терминах. Все же роль, которую теория катастроф могла бы здесь играть, видна из такой цитаты (типичной для этой области) из статьи Стёртеванта и Калкарни [891:

„Можно выделить три вида фокусов — каустики, ребра (aretes) и совершенные фокусы".

(Под „каустиками" и „ребрами" они понимают то, что мы называли складками и сборками.) Но как мы видели в § 4, совершенная фокусировка (даже совершенная фокусировка вдоль линии, как для сферических линз) принадлежит к явлениям бесконечной коразмерности, которые становятся устойчивыми лишь при наложении условия некой непрерывной симметрии. Микроскопическая поворотная симметрия капелек воды, создающая глорию, оказывается здесь неэффективной; звуковые удары больше фотонов и не замечают формы капелек. Значит, мы спокойно можем отбросить совершенные фокусы как чисто лабораторный феномен: лишь в стенах лаборатории с помощью предварительно рассчитанных выточенных на токарном станке отражателей можно создать приближение к ним — с той

Рис. 12.41

Рис. 12.42. Записи трех листов ударной волны, полученные при маневре входа в поворот (Ваннер, Валм, Виеье и Тери

Рис. 12.43 (см. скан)


точностью, с какой вообще геометрическая акустика позволяет приближать удары.

Складки и сборки являются единственными каустическими особенностями, которые можно ожидать встретить на двумерной земле, но а) города все-таки трехмерны, Ь) особенность физически действует в некотором объеме. Тем самым три катастрофы, которые устойчиво могут возникать в отдельных точках в трехмерном пространстве (ласточкин хвост и две омбилики), имеют ненулевой шанс взорваться в воздухе достаточно близко от земли или от зданий, так что связанные с ними интенсивности — большие даже, чем у сборки, — получают реальное значение. (На деле здесь нужно принять во внимание иерархию особенностей, которые „почти случаются" в трех измерениях, но мы оставим это в стороне. См. Берри [90а].)

Строго говоря, нас интересует не геометрия каустик сама по себе, а то, как волновые фронты проходят через них; это несколько более тонкая задача, так как

Рис. 12.44. (см. скан) Структура завихрений вблизи земли, показанная с помощью изотол: (Ламли и Панофски 192]).


существуют неустойчивые пути прохождения устойчивой каустики. Арнольд в [91] классифицирует типичные, устойчивые особенности, связанные с перестройками волнового фронта при его распространении, в размерностях, меньших шести, и дает приложение (в рамках довольно простой физической модели, принадлежащей Зельдовичу) к формам галактик. У нас здесь речь идет о размерности 3, и на рис. 12.43 мы приводим типичные картинки прохождения волновых фронтов через ласточкин хвост и эллиптическую и гиперболическую омбилики, а также два устойчивых способа прохождения через линию сборок (ребро возврата). (Первый из них нам уже встречался на рис. 12.41.) В оптике интенсивности для двух последних случаев были бы такие же, как и для обычной сборки, но лишь тщательное исследование сможет показать, будет ли это верно также и для звуковых ударов. Во всех пяти случаях, несомненно, требуется серьезный анализ. Отметим, какова здесь роль теории катастроф: не давая ни на какие вопросы Полного Ответа, она дает (поскольку соображения типичности тут вполне уместны) новую информацию относительно того, какие случаи важны и требуют уточнения новых деталей; при этом у нас есть благодаря ей уверенность, что этих случаев конечное число.

Кстати говоря, к преломлению ударных волн приводят не только глобальные неоднородности в атмосфере (рис.

12.36), но и локальные, а именно турбулентности (рис. 12.44). Геометрически это представляется тесно связанным с проблемой преломления света при прохождении через случайную рябь на поверхности воды, где имеются такие замечательные результаты, как тот, что гиперболическая и эллиптическая омбилики появляются в пропорции 73.2 v 26.8% (Берри и Хэнней [92а]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление