Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРИЛОЖЕНИЯ

9. Рассеяние на кристаллической решетке

Теперь покажем, как намеченная выше теория может служить для предсказания. Мы следуем работе Берри [61] о рассеянии атомов кристаллом. С точки зрения пространственного расположения атомов кристалл представляет собой правильную решетку. Поскольку для атомов квантовомеханические эффекты не проявляются слишком сильно, мы можем воспользоваться так называемой „квазиклассической“ механикой и считать рассеиваемые атомы упругими частицами, а поверхность кристалла волнообразной упругоотражающей поверхностью, или, эквивалентно, можем заменить траектории атомов лучами света, а

Рис. 12.24

кристалл — волнообразным зеркалом с совершенным отражением.

Выберем в горизонтальной плоскости координаты и пусть обозначает высоту поверхности кристалла над этой плоскостью (рис. 12.24). Тогда является дважды периодической функцией; для простоты мы возьмем случай прямоугольной решетки, так что периодична по х и по у в отдельности, скажем с периодами

Классически интенсивность, наблюдаемая в направлении Я, задается формулой

где — матрица Якоби векторной функции Я (от переменных

здесь Отсюда следует, что

где Н — определитель матрицы Гессе функции а суммирование ведется по всем таким что вышедшие из них лучи отразились в направлении .

Читателю легче будет понять, какую роль здесь играет указанный определитель, если он рассмотрит двумерный случай рассеяния вертикально падающих лучей от графика (рис. 12.24а). Вершины и впадины отражают

Рис. 12.24а. Отражение вертикальных лучей от графика функции Наблюдаемые на большом удалении (в дальнем поле) каустики возникают от точек перегиба. Экран на конечном расстоянии покажет копию картины дальнего поля для каждого освещенного периода, немного смещенную и дающую эффект пятен (дифракция Брэгга), видный на фото 12.

Рис. 12.25

вертикально вверх; когда мы идем от вершины к впадине, направление рассеяния сначала отклоняется от вертикали, а потом возвращается к ней: „поворачивает назад" оно в том месте, где обращается в нуль вторая производная, хотя первая производная там и ненулевая. Рассеяние света при прохождении через преломляющую поверхность носит близкий характер.

Таким образом, мы ожидаем, что каустикой будет служить образ при отображении той части поверхности кристалла, где имеет нулевой определитель матрицы Гессе.

В простейшем случае эта поверхность выглядит, как показано на рис. 12.25. Жирными точками помечены максимумы (отвечающие местам, где в кристаллической решетке располагаются атомы и где наиболее велики силы отталкивания), кружочками — минимумы (места, дальше всего отстоящие от атомов решетки), а крестиками — сёдла. Штриховыми линиями показана ячеистая структура кристаллической решетки. Сплошные линии — это линии, на которых обращается в нуль определитель матрицы Гессе; в типичном случае мы имеем по замкнутой кривой вокруг каждого максимума и каждого минимума.

Если мы наблюдаем рассеяние с большого расстояния, мы можем сосредоточить свое внимание на какой-нибудь одной ячейке; тогда у нас будут ровно две замкнутые кривые нулевого определителя и, значит, можно ожидать, что и каустика будет состоять из двух замкнутых кривых (возможно, с особенностями).

Простейший для вычислений случай дается функцией

Рис. 12.26

Однако этот случай не типичен. Петли зануления определителя соприкасаются своими углами и образуют прямоугольную решетку прямых, приводящую к каустике в виде прямоугольника так как образы обеих петель совпадают (рис. 12.26).

Поэтому, чтобы прийти к типичному случаю, возмутим слегка, скажем так:

(где мало). Однако вместо подбора и вычислений применим лучше немного теории катастроф. Мы встретились с атипичной каустикой, имеющей углы; какая простейшая катастрофа может ее содержать? (Мы не можем строго обосновать, что квадрат, возникший, как в нашем случае, из атипичной симметричной модели, обязан быть частью маломерной типичной структуры, по крайней мере без предварительного исследования того, что типично в пределах данного класса симметричных объектов. Но всегда имеет смысл взглянуть сначала на простейшие случаи.) Пересмотрев геометрии катастроф (гл. 9), мы находим, что лишь гиперболическая омбилика содержит углы; при возмущении этот угол деформируется так, как показано на рис. 12.27. Следовательно, приняв во внимание прямоугольную

Рис. 12.27

Рис. 12.28

Рис. 12.29

Фото 13. Четыре сочлененные гиперболические омбилики (частично продеформированные) в каустике, образованной при преломлении лазерного света в периодически матированном стекле (Берри [67], рис. 7(a)).

симметрию, мы можем ожидать каустику такого вида, как на рис. 12.28. Здесь действительно, как мы и ожидали, имеются две кривые, на которые раздваивается прямоугольник, когда начинает действовать возмущение.

Вычисление дает для порядка каустики значение 1/3 (Берри, личное сообщение), что оставляет в кандидатах только бабочку и эллиптическую и гиперболическую омбилики (известно, что все более высокие катастрофы имеют большие порядки; это доказано даже для тех катастроф, порядок которых пока точно не вычислен), тем самым рассуждение с углом делается строгим, а указанное предсказание — обоснованным. Подробный анализ частичного случая

подтверждает его, согласно Берри [61]. Таким образом, благодаря структурной устойчивости катастрофы гиперболической омбилики мы можем с достаточным основанием предсказать каустику, показанную на рис. 12.28, для рассеяния на очень широком классе дважды периодических поверхностей.

Больше того. Метод быстро осциллирующих интегралов позволяет, согласно выражению Берри, „нарастить квантовомеханическое мясо на классические кости". На рис. 12.28 каустика состоит из линий складок и точек сборки (не в непосредственно геометрическом смысле, а в смысле типа критических точек потенциальной функции данной катастрофы, как в гл. 9). „Поперек складок" мы должны ожидать появления дифракционных полос Эйри, а в сборках ожидаем увидеть картину Пирси. Приняв во внимание направления, куда обращены складки (чтобы правильно указать зоны тени), мы можем предсказать, что наблюдаемая картина дифракции для этого типа рассеяния на кристалле должна быть похожа на рис. 12.29.

Возникает задача экспериментальной проверки этого предсказания. Для случая рассеяния атомов на кристалле нелегко получить все нужные детали, особенно вблизи точки сборки. Берри использует оптический аналог такого рассеяния, подсказанный ему одним замечанием Джона Баркера. А именно, тот заметил, что такие формы, как на рис. 12.28, возникают на стеклах в окнах ванной комнаты (читатель, возможно, уже и сам наблюдал этот эффект, а если нет, то при случае сможет наблюдать). Матированное стекло, обычно используемое для ванных, имеет структуру правильной решетки, а рассеяние через преломляющее стекло математически аналогично рассеянию от отражающего

зеркала. Сравнительно несложно изготовить мелко линованное стекло и просветить его лазером. Фото 13 (Берри [61]) показывает результат. Сравним его с рис. 12.29; каустика и дифракционные эффекты очень близки к предсказанным. Кроме того, видна более тонкая структура (напоминающая вязку), возникшая из-за дифракции Брэгга (результат действия многих ячеек решетки, вместо принятой нами выше аппроксимации с одной ячейкой).

Статья Берри [61] содержит еще много дополнительной информации, в частности об эффектах случайного блуждания атомов по кристаллической решетке.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление