Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Порядки каустик

Для каустики типа сборки можно принять

где Тогда

Этот интеграл можно вычислить с помощью стандартных в математической физике приемов. Заменяем переменную на

и получаем

где — функция Эйри (Эйри [68], Абрамовиц и Стиган [69]), определяемая формулой

Рис. 12.22

Фото 11. Дифрвщионные полосы Эйри каустики складки (увеличенный фрагмент фото 13). (Любезно предоставлено Майклом Берри.)

Эту функцию можно представить степенным рядом, можно также написать для нее линейное дифференциальное уравнение второго порядка; ее поведение хорошо изучено. На рис. 12.22 представлен график функции Эйри. Штриховая линия показывает ее „асимптотическую" форму (полученную при помощи метода стационарной фазы на морсовских критических точках), которая имеет бесконечный пик в каустике геометрической оптики. Область хорошего согласия между этой аппроксимацией по методу стационарной фазы, отвечающей геометрической оптике, и функцией Эйри выделяется замечательно точно. Вычисления, касающиеся такого рода согласованности, необходимые для физических приложений, были проделаны также для каустики сборки Уитни (Холфорд [70], Берри [61]); сейчас ведутся вычисления для еысших катастроф. На рис. 12.22 следует отметить резкое падение в зоне тени, пик вблизи каустики геометрической сптгки (но не в ней самой — там интенсивность, говсе не бесконечная, равна примерно двум третям пикового значения) и, наконец, осцилляции в освещенной зоне. Как показывает формула (12.5), по мере возрастания пик поднимается и приближается к каустике геометрической оптики. Стоит сравнить рис. 12.22 с фото И (часть фотографии, полученной Берри [61]), демонстрирующим экспериментально наблюденные интенсивности в каустике складки.

Функцья Эйри ограничена для всех что позволяет подсчитать порядок каустики сборки; он равен 1/6. Этот результат (а также и многое другое) был получен „голыми руками" Лудвигом [71].

Для катастрофы сборки мы можем принять

(как можем взять и любую другую подходящую форму). Функция Эйри заменяется на функцию Пирси (Пирси [72])

(см. Берри [61]). Здесь взяты нестандартные коэффициенты, которыми пользовался сам Пирси. На рис. 12.23 изображены линии уровня функции дающей в приложениях к оптике распределение интенсивности. Графики, представляющие полное значение (комплексное число) этой функции (в форме можно найти у Пирси [72]; они воеироизведены также у Коннора [73] и Холфорда [70].

Рис. 12.23 (см. скан)

Рисунок 12.23 стоит сравнить с фото 12, также полученным Берри [61], на котором видны экспериментально наблюденные дифракционные полосы вблизи каустики сборки.

Функция Пирси тоже ограничена, и вычисление порядка каустики дает значение 1/4. Порядки семи каустик, отвечающих катастрофам коразмерности 4, таковы:

Арнольд [74] дал таблицы порядков каустик в высших коразмерностях (под названием индексов особенностей).

Фото 12. Тонкая структура каустики сборки, видны: распадение на отдельные дифракционные пятна, картина Эйри для каустик складки и картина Парси для точки сборки (Берри [61], рис. 7(b)).

Заметим, что порядок сборки в полтора раза превышает порядок складки; этим объясняется большая яркость в месте острия сборки на рис. 12.2.

Много подсчетов остается еще произвести для высших каустик. Привлекательный момент здесь заключается в том, что, в силу теоремы Тома, утверждающей, что почти всё является устойчивым и локально имеет одну из таких вот форм, результаты этих вычислений, проведенных однажды, можно будет использовать снова и снова. „Атипичные" формы — если оставить в стороне те, что связаны с повсеместными симметриями, — будут очень редки. Еще 15 лет назад никто не ожидал, что можно будет найти основания, и притом столь прочные, для того чтобы ограничиться рассмотрением конечного списка.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление