Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7 Универсальные деформации

Мы можем сосредоточить свое внимание на „типичных" случаях. Рассмотрим те которые возникают в типичных семействах, даваемых классификационными теоремами теории катастроф, т. е. пусть эквивалентно одной из стандартных катастроф. Тогда служит деформацией для

некоторой функции

вблизи точки Предположим, что универсальная деформация в смысле гл. 8 здесь такова:

где — некая новая система параметров управления. Мы также можем и заменить на любую эквивалентную функцию (в смысле теории катастроф) и тем самым можем считать, что является одной из элементарных катастроф в стандартной форме с полиномиальными Далее, можно доказать, что асимптотическое поведение интеграла (12.4) полностью определяется асимптотическим поведением такого же интеграла, в котором заменено на (Фактически, если включить в деформацию постоянный член где то асимптотическое поведение останется тем же; затем этот постоянный член можно вынести за знак интеграла и избавиться от него, если угодно. Деформации с постоянными членами нужны, когда мы имеем дело с сильной формой правой эквивалентности, обсуждавшейся в § 5 гл. 8, в то время как для элементарных катастроф мы используем более слабую форму, при которой постоянные члены в деформацию не вводятся. В данном случае можно использовать обе формы, причем математически это не имеет большого значения, но физически различия в получающихся формулах оказываются важными.)

Тем самым наша задача сводится к рассмотрению стандартных интегралов

где — некоторая элементарная катастрофа в стандартной форме. Поскольку все являются в таком случае многочленами, мы видим, что этот интеграл для фиксированного у имеет асимптотическое разложение вида

Теперь остается лишь уточнить значения показателей и коэффициентов и зависимость всего от у. В принципе это можно проделать для всего списка элементарных катастроф, коль скоро такой список составлен. Здесь мы сделаем это только для семи катастроф коразмерности

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление