Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6 Быстро осциллирующие интегралы

При применении изложенного выше метода возникают трудности, связанные с тем, что он позволяет получить решения лишь в малой области Глобальное решение указанного типа может оказаться невозможным, поскольку уравнение для не решается вблизи каустики. (Геометрически это уравнение дает „график" типа изображенного на рис. 12.21, который не определяет никакой функции, будучи „многозначным".) Чтобы исправить положение, Маслов [66] предложил использовать быстро осциллирующие интегралы, имеющие вид

где — некоторый параметр. С интуитивной точки зрения такой интеграл представляет собой бесконечную суперпозицию, аналогичную рассмотренной выше конечной,

Рис. 12.21

причем допускаются все те особенные, почти равновероятные лучи, которых мы можем ожидать согласно анализу § 3. В результате, в отличие от конечных суперпозиций, он может быть распространен за каустику до глобального решения того же типа. Правильная глобальная постановка задачи дается в рамках теории лагранжевых многообразий (Дёйстермат [41], Арнольд [26, 59]), но у нас сейчас нет в распоряжении необходимых понятий для описания соответствующего формализма; да и, кроме того, глобальная проблема снова быстро сводится к локальной (после того как она поставлена правильно!).

Мы продолжаем говорить о как об (-параметрической) фазе, а о — как об (-параметрической) амплитуде. Допустим, что а допускает асимптотическое разложение

и обобщим классический метод на этот параметрический случай.

Главное здесь состоит в том, чтобы описать асимптотическое поведение (при больших функции (12.4). Можно показать, что оно зависит лишь от тейлоровских разложений для и а на множестве

Причина этого примерно такая. Подынтегральное выражение в (12.4) осциллирует все быстрее и быстрее при увеличении т. Вне эти колебания будут гасить друг друга.

Аппроксимация интеграла (12.4) суммой

где являются при данном х решениями уравнения

называется методом стационарной фазы или же методом (Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна). Вблизи тех точек х, где все оказываются морсовскими особенностями для они будут, как показывают результаты гл. 4, локально представимы как функции от х (что и отражено в обозначениях), и потому этот метод, эквивалентный по существу геометрической оптике, работает удовлетворительно. Но вблизи вырожденных особенностей интеграл нужен весь.

Далее, само определение заставляет подумать о формализме теории катастроф: примем а за переменную состояния, х за параметр управления, а за потенциал, — и тогда оказывается многообразием катастрофы (в случае если оно есть многообразие!), определяемым критическими точками Этот формализм очень плодотворен, так как он позволяет привести интеграл к некоторому стандартному виду и вычислить многие из интересующих нас величин на основе рассмотрения небольшого числа частных случаев.

Рассмотрим поведение интеграла (12.4) вблизи данной точки для трех различных случаев.

(a) Зона тени. Не существует такого вещественного числа а, чтобы не лежит под множеством (в его образе при проекции). В решение входят лишь комплексные корни уравнения и требуется изучение таких объектов, как в катастрофе ласточкина хвоста (Постон и Стюарт [25], стр. 130], где совпадают комплексные корни. Не без некоторого труда обнаруживается, что они не имеют физического значения, по крайней мере в случае ласточкина хвоста.

(b) Освещенная зона. Здесь существуют точки а, для которых но все отвечающие им критические точки являются морсовскими: лежит в проекции многообразия катастрофы, но не в бифуркационном множестве.

(c) Каустика. Одна или несколько критических точек вырожденны, и потому лежит в бифуркационном множестве.

На рис. 12.21 эти три области изображены для случая, когда определяет катастрофу складки; исторически это был первый хорошо понятый случай.

Интенсивность в зоне тени быстро стремится к нулю с ростом или расстояния до каустики, и мы не будем ею дальше заниматься. К особенностям морсовского типа в освещенной зоне, которые локально можно считать функциями от х, мы применяем метод стационарной фазы, уделяя внимание предельному переходу при Подставляя в наш интеграл асимптотическое разложение, которое, как предположено выше, имеется для а, мы получаем вклад каждого листа в виде

где На Ф — матрица Гессе для в точке сигнатура отвечающей ей квадратичной формы. (Фазовый множитель постоянен над каждым листом морсовских точек и приобретает значение, лишь когда мы комбинируем или сравниваем вклады различных листов в данной точке.) Очевидно, для фиксированного это выражение расходится, когда матрица Гессе приближается к вырождению при движении х, и мы не можем поэтому использовать эту оценку вблизи вырожденных критических значений. Насколько близко от них мы можем ее использовать, составляет задачу, которую приходится решать отдельно для каждой катастрофы.

Остается случай каустики. Оценки здесь, конечно, зависят от типа каустики. Определим порядок каустики как точную верхнюю грань множества чисел для которых

вблизи для всех и данного типа. Задача подсчета порядка локальна, и потому возможно применение техники деформаций теории катастроф.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление