Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

5. Асимптотические решения волновых уравнений

Подход к проблеме интенсивности (распределения света на фото 10 и т. п.) дает теория Маслова „быстро осциллирующих интегралов" (Маслов [66]), которая привела Арнольда [26] к его варианту классификации элементарных катастроф. Идеи Маслова опираются на более ранние методы, использовавшиеся в аналогичных задачах, и мы не будем слишком углублятья в мотивировки тех точных формулировок, которые даются ниже. Некоторые особо ученые части теории мы опустим (как ни существенны они для строгого изложения), поскольку они требуют глубокой специальной подготовки. Наше изложение основано на статье Шазарэна [67], к которой мы и должны отослать заинтересованного читателя за дальнейшими подробностями. (См. также Дёйстермат [41].)

При исследовании волнового уравнения

часто бывает желательно найти решения, которые не меняются со временем по амплитуде, а лишь осциллируют, т. е. решения вида

где — вещественный параметр. Иногда такие решения называют стационарными, но мы хотим избежать путаницы с другими употреблениями этого слова (как, скажем, в вариационных принципах). Они отвечают гармоникам колеблющейся струны, в которых все точки синхронно, в такт, колеблются по закону , и лишь амплитудный коэффициент зависит от наблюдаемой точки. (Там, где и меняет знак, фаза колебаний изменяется на Подставляя указанное выражение в волновое уравнение, приходим к уравнению

Подобным же образом для уравнения Шрёдингера

мы ищем не изменяющиеся по амплитуде решения вида

с энергией Е (где - постоянная Планка); здесь мы приходим к уравнению

которое обнаруживает существенное сходство с уравнением (12.1), причем роль играет Общая теория применима к классу дифференциальных операторов вида

где многочлен степени не выше с гладкими коэффициентами. Рассматривается уравнение

Вместо того чтобы решать это уравнение точно, оказывается полезным отыскивать асимптотические решения удовлетворяющие условию

где символ обозначает функцию, которая быстро убывает с ростом (т. е. быстрее, чем для любого положительного целого Два асимптотических решения считаются эквивалентными (запись: если Интерпретируется это в том смысле, что при больших асимптотическое решение очень близко к настоящему, а эквивалентные решения почти равны между собой. В некоторых задачах (вроде дифракции на острых углах) этот подход оказывается не вполне успешным, но часто его успех триумфален. Деятельность физика в значительной мере состоит в том, чтобы приходить к трудным уравнениям и затем искать что-нибудь, что заменило бы их решение.

По аналогии с (12.1) и (12.2) попытаемся искать эти асимптотические решения в виде

где — гладкая функция, называемая фазой, — гладкая функция, называемая амплитудой. Здесь уже точки колеблются не в такт, как выше в случае гармоник, а одни точки опережают другие по фазе. Те точки, в которых и имеет заданную фазу

(с точностью до целого кратного движутся со скоростью при условии что не имеет особенностей. Это дает (если оставить в стороне особенности) ясное представление о том, в каком направлении движется „волна", т. е. в каком направлении идет луч, проходящий через х. Если в общей картине поля лучей несколько лучей проходят через одну и ту же точку х и рядом нет каустики, то решение вблизи х получается суперпозицией:

Допустим, что амплитуда а обладает асимптотическим разложением

(имеющим, как говорят, степень и подставим его в (12.3). Это дает дифференциальное уравнение для и систему уравнений, выражающих каждое через . В принципе эти дифференциальные уравнения могут быть решены известными методами; для мы приходим к уравнению „типа Гамильтона — Якоби“, которое в типичном случае разрешимо, если выполнены некоторые условия трансверсальности; для уравнения оказываются линейными, причем на практике бывает достаточно рассмотреть лишь малые значения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление