Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Рассеяние

Вместо оптического рассеяния мы можем рассмотреть общую проблему теории рассеяния: пучок параллельных лучей, или частиц, или волн, или волн-частиц проходит через некий рассеивающий центр, и возникающие отклонения лучей измеряются на большом удалении (рис. 12.15). На практике это удаление столь велико, что метка, которую оставляет траектория на экране, — это почти то же самое,

Рис. 12.15

Рис. 12.16

что и направление, в котором она выходит из рассеивающего центра, и яркие пятна на экране отвечают пучкам параллельных траекторий. Снова могут образоваться каустики; к их числу относится известная квантовомеханическая радуга (Берри [61]), порождаемая потенциалом рассеяния, который имеет вид, показанный на рис. 12.16(a), и приводит к рассеянию, показанному на рис. 12.16(b).

Применение вариационного подхода из § 3 дает здесь следующее. Обозначим начальное положение частицы (в фазовом пространстве, т. е. ее положение в физическом пространстве и момент) через а ее финальное положение (или направление) после рассеяния — через . Тогда гамильтонов формализм дает нам гладкую функцию действия , обладающую таким свойством: лучами с финальным направлением будут те лучи, начальные положения которых удовлетворяют уравнению

с тем самым . Это очень напоминает постановку задачи из теории катастроф, в которой в качестве управляющего параметра берется , а в качестве переменной состояния Однако действие зависит также и от пути, ведущего из в , так что пространство состояний, строго говоря, является бесконечномерным многообразием путей. На практике его часто можно свести к конечномерному, показав, что для данного достаточно рассмотреть только один путь из каждого (как мы это приняли для анализа в § 1), или, иногда, конечномерное семейство таких путей. Дальше мы игнорируем эту трудность, поскольку иное возможное описание задачи в терминах „лагранжевых многообразий" позволяет полностью избежать ее, по крайней мере в вопросе о каустиках.

Если критическая точка функции вырожденна, то физически мы имеем случай угловой фокусировки, когда целый пучок лучей, идущих из -пространства, собирается в близких точках -пространства (рис. 12.17). Поэтому яркие каустики наблюдаются на бифуркационном множестве нашей катастрофы (в -пространстве). По теореме Тома, если есть (физически — экран), то каустики типично будут представлять собой (локально) сборки и складки. На рис. 12.18 изображено типичное множество каустик для преломления в неправильной линзе.

Многие системы очень четко поддаются этому подходу. „Совершенная" линза — это линза, которая преломляет все лучи, параллельные ее оси (во всяком случае, все

Рис. 12.17

Рис. 12.18

Рис. 12.19

достаточно близкие к ней), направляя их в одну точку — фокус (рис. 12.19(a)). Очевидно, эта ситуация атипична, и на практике мы получаем картину, показанную на рис. 12.19(b), с каустикой сборки, точка острия которой совпадает с фокусом. Этот эффект в линзах называется сферической аберрацией. В действительности, поскольку эту картинку надо еще прокрутить вокруг оси, мы имеем здесь „катастрофу с симметрией" бесконечной коразмерности (в том смысле

Рис. 12.20

Фото 10. Каустики сборки, образованные лазерным лучом, прошедшим сквозь каплю неправильной формы. (Любезно предоставлено Майклом Берри.)

что требуется бесконечно много параметров деформации, чтобы разрушить симметрию). В оптике известны и разные другие виды аберрации линз (наиболее важны после сферической такие аберрации, как кома, астигматизм, кривизна Петцваля и дисторсия), которые, может быть, каким-то образом отвечают более важным членам деформации. Однако до сих пор здесь мало что сделано.

Свет, преломленный в асимметричной капельке воды на стекле, дает в типичном случае такие каустики, как на рис. 12.20; при этом каустики соответствуют тем местам капельки, где гауссова кривизна равна нулю. На фото 10, сделанном Майклом Берри из Бристольского университета, мы видим в точности такие же каустики, образованные пучком лазерного света, прошедшего через капельку.

Хотя форма каустик обнадеживает, мы пока не можем объяснить распределение света на фотографии. Присутствие многочисленных дифракционных полос делает ясным, что геометрической оптики здесь недостаточно и требуется волновая теория. Такая теория сейчас существует, и она оказывается довольно тонкой. Мы посвящаем ей несколько следующих параграфов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление