Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Квадратичные формы

Квадратичная форма (квадрика) от переменных

— это выражение вида

Чтобы записать его на матричном языке, мы вводим вектор-строку

транспонирование которой дает вектор-столбец

Введем в рассмотрение матрицу называемую матрицей квадратичной формы. Тогда

Если мы заменим на то квадратичная форма останется неизменной поскольку но теперь ее матрица М симметрична в том смысле, что Значит, каждую квадратичную форму можно записать в виде

с симметричной матрицей М, и обычно мы будем считать, что так и сделано.

Каждая квадратичная форма от переменных может быть приведена с помощью невырожденного линейного преобразования этих переменных к виду

Наметим здесь, как это делается, поскольку позже мы будем опираться на этот факт в одном более сложном доказательстве (леммы Морса в гл. 4). Наша первая цель — добиться, чтобы Если какой-либо из диагональных членов то к этой цели ведет линейное преобразование, меняющее местами Если же все диагональные члены нулевые, то тогда отличен от нуля какой-нибудь внедиагональный член и по симметрии Поэтому наша форма имеет вид

Полагая

и оставляя остальные без изменения мы получаем член

с ненулевыми диагональными коэффициентами и сводим задачу к уже рассмотренному случаю.

Проведя этот предварительный шаг, мы можем вернуться к старым обозначениям и считать, что Имеем

где Члены, содержащие дают

Положим

это — невырожденное линейное преобразование. Наша форма примет тогда вид

где — квадратичная форма только от переменных Повторяя процесс достаточное число раз, получим желаемый результат.

Мы можем пойти чуть дальше. Произведя замену

мы придем к выражению того же типа, но с коэффициентами, равными лишь 1, 0 или —1. Изменив порядок переменных так, чтобы сначала шли единицы, затем минус единицы, и отбросив нули, мы получим следующий результат: любая квадратичная форма от переменных может быть приведена с помощью невырожденной линейной замены переменных к виду

где Число называется рангом квадратичной формы, и можно показать, что оно равняется рангу матрицы этой формы; значит, оно не зависит от выбора линейного преобразования и его можно подсчитать, скажем, приведя матрицу к ступенчатой форме. Закон инерции Сильвестра гласит, что также не зависит от выбора линейного преобразования. Число

называется сигнатурой квадратичной формы . С точностью до линейного преобразования любая квадратичная форма единственным образом определяется своими рангом и сигнатурой.

Это чуть более сложный пример центральной темы нашей книги — приведения к простой форме заменой координат. Квадратичная форма требует для своего задания чисел (55 при n=10). Но с точностью до

замены переменных ее можно задать всего лишь числами, каждое из которых равно ±1 или 0, а именно коэффициентами приведенного выше выражения, т. е. фактически всего лишь двумя числами

Для случая квадратичных форм от двух переменных

можно дать живую геометрическую интерпретацию этой классификации по рангу и сигнатуре. Имеющиеся здесь возможности таковы:

Случай (iv) встречается в точности тогда, когда является полным квадратом, скажем Уравнение можно решить, используя хорошо известную формулу для квадратных уравнений, что дает

С другой стороны, решением уравнения очевидно, служит

и единственный способ согласовать обе формулы — это

Рис. 2.6.

иметь тогда два решения сводятся к одному двукратному решению. Но если то

Итак, можно свести к в точности тогда, когда причем а и с положительны, и ее можно свести к когда и а и с отрицательны.

В случае конечно, так что тривиальным образом. Итак, случаи выделяются условием а между собой различаются знаком стоящим перед а (или с).

Если принять теперь за координаты точки в и рассмотреть множество точек, удовлетворяющих условию то мы увидим, что это двойной конус с вершиной в начале, содержащий оси а и с; этот конус разбивает на три части в соответствии с тремя оставшимися случаями (см. рис. 2.6). (Как можно увидеть, что мы имеем дело с двойным конусом, будет объяснено в § 7 этой главы.) Таким образом, есть форма типа когда (это — внешность конуса), типа (i), когда и а положительно (внутренность положительной полы конуса), и типа когда и а отрицательно (внутренность отрицательной полы).

Ввиду приведенных выше результатов мы будем называть квадратичную форму вырожденной, если ее ранг меньше числа независимых переменных Разность называется корангом формы. Это число независимых направлений, вдоль которых форма вырождается, что становится особенно ясно видно, если форму диагонализовать. Вырождение происходит, если и только если определитель матрицы формы равняется нулю. Но матрица нашей формы такая:

и ее определитель равен как раз Этот определитель известен как дискриминант квадратичной формы. Соответственно и построенный выше конус 5 мы называем дискриминантным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление