Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

Хорошо известно, что в науку нет царской дороги, но книги, вводящие в предмет, могут быть хорошими и плохими. Перед читателем лежит безусловно хорошая книга. Даже больше — книга, написанная с вдохновением. Только поэтому авторы с видимой легкостью сумели справиться сразу с несколькими задачами, каждая из которых могла бы потребовать отдельной книги.

В первых главах они демонстрируют, каким должно быть современное геометризированное преподавание анализа, и эти главы хочется рекомендовать всем тем, кто думает сейчас о проблемах преподавания математики. В последующих главах первой половины книги дается мастерское изложение математических основ теории особенностей гладких функций. Его с пользой для себя прочтут и новички и специалисты. Вторая половина книги посвящена приложениям — это блестящий пример научно-популярной литературы для ученых. (Предшествующие статьи апологета теории катастроф английского математика Э. К. Зимана относятся скорее к жанру научно-фантастической литературы для ученых.) Авторы сопровождают изложение многочисленными остроумными и серьезными замечаниями о характере прикладной математики вообще, которые звучат очень злободневно. Наконец, полемическая цель книги — защита нового направления от ожесточенной прямой и скрытой критики, а также от примитивного понимания — достигается ими с большим тактом и максимальной научной добросовестностью.

В элементарной теории катастроф, которой посвящена книга, рассматривается (в получившей широкое распространение схеме) следующая ситуация. Имеется физическая система, быстро минимизирующая потенциал, который меняется в зависимости от внешних или управляющих параметров (минимизация локальная); некоторые локальные минимумы при изменении параметров могут „исчезать". Скачки, наблюдающиеся при таких исчезновениях, и дали повод для названия теории. При этом большой простор

получает геометрическая интуиция, подкрепленная разнообразными картинками, которые можно рисовать, когда число параметров не превосходит трех, — главным образом это множества тех значений параметров, при которых происходят скачки (если параметров больше, можно рисовать сечения).

В дополнение к этому геометрическому подходу авторы подчеркивают аналитический подход, строя свое изложение основ теории как естественное развитие классического анализа в его собственных рамках, связанное с поиском ответа на два вопроса. Во-первых, какие многочлены Тейлора определяют функцию с точностью до дифференцируемой замены координат? Во-вторых, если многочлен обладает таким свойством, то сколько нужно взять параметров его локальной деформации (и как ее построить), чтобы любое конеч номерное семейство гладких функций, содержащее этот многочлен, могло быть получено из этой «универсальной» деформации с помощью надлежащей локальной замены координат? Оказалось, что при числе параметров, меньшем пяти, удается построить небольшой описок многочленов („семь катастроф Тома“). к которым приводится локальными заменами в окрестности начала „почти любая“ функция со своими деформациями. Этот список независимо был получен В. И. Арнольдом, который развил его теперь в широкую классификацию.

Благодаря энергичным и настойчивым усилиям французского тополога Ренэ Тома оба указанных подхода слились в изящной и нетривиальной математике, развитой многими математиками, в первую очередь Мальгранжем, Мезером, Арнольдом, причем в работах последнего установлены глубокие связи теории с другими областями математики. Авторы делают необходимые исторические замечания, но, может быть, нелишне будет упомянуть уже здесь, что основные идеи, сплавом которых оказалась теория катастроф, берут начало в работах X. Уитни по каноническим формам особенностей гладких отображений и в работах школы

А. А. Андронова, где изучались степени негрубости (т. е. коразмерности) динамической системы, что понятие универсальной деформации появилось в алгебраической геометрии (А. Гротендик) и что вся теория в сущности — далеко продвинутая глава общей теории динамических систем, которой интенсивно занимаются в последние десятилетия.

Для самого Тома теория катастроф, как она представлена в этой книге, является лишь случайным продуктом

развития математики. Том поставил задачу создания на основе общей теории динамических систем языка форм, пригодного для математизации биологии, а за ней и других областей науки, традиционно далеких от математики. Понять туманно-философские высказывания Тома довольно трудно, но примерно речь идет о построении динамических систем с иерархической организацией, обеспечивающей устойчивость, взаимодействие со средой и эволюцию. Если бы удалось построить конечное число (или обозримый бесконечный набор) таких „элементарных" систем, из которых можно было бы по определенным законам строить более сложные системы и описывать переходы между ними („катастрофы"), то был бы создан мощный метод анализа самых разнообразных явлений природы (развитие эмбриона, человеческий язык, форма облаков и пр.). К сожалению, математика динамических систем оказалась, по-видимому, слишком сложной для реализации этой идеи... От грандиозного замысла осталась элементарная теория катастроф — та, о которой идет речь в этой книге и героическую попытку приложить которую в биологии и социальных науках в духе Тома предпринял Э. К. Зиман (ему книга посвящена).

Следует указать, что программа Тома, как и математическое развитие теории семинаром Арнольда, полностью оказались за рамками книги. Авторы сосредотачивают свое внимание в основном на приложениях к физике, откуда они с большой легкостью извлекают сборки и складки, бабочки и омбилики, без устали подчеркивая естественность и неизбежность их появления, вытекающие из универсального характера катастроф из списка Тома. (Ряд приводимых примеров появился независимо от теории катастроф, особенно в теории упругости, где самостоятельно возникли также и некоторые ключевые понятия.) Многие примеры выходят за пределы упомянутой вначале схемы „градиентных систем, зависящих от параметра", что демонстрирует широкую применимость теории. Здесь можно было бы упомянуть еще, что Ф. Такенс начал изучать с точки зрения теории катастроф вырожденные задачи вариационного исчисления. Но авторы не устают подчеркивать и существование границ применимости теории.

Авторам удалось собрать огромный материал, полученный в самое последнее время и в значительной своей части еще не опубликованный. К сожалению, неизбежная при таких обстоятельствах торопливость оставила свой след... В частности, оригинал содержал довольно много опечаток,

которые исправлялись при переводе без оговорок. (Список некоторых из них был прислан авторами.)

К достоинствам книги, как с грустью должен заметить переводчик, относится и виртуозное использование авторами возможностей современного английского языка. Если в какой-то мере эту черту удалось отразить в переводе, то в этом большая заслуга издательского редактора В.    И. Авербуха, которому переводчик искренне благодарен. Он должен также поблагодарить Г. С. Шапиро и А. А. Корсунского, которые помогли уточнить терминологию в отдельных главах.

А. Чернавский

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Выход этой книги на русском языке — языке, на котором была развита столь значительная часть излагаемой в ней теории, а также объемлющей ее теории динамических систем, — является для авторов высокой честью. Одним из пионеров качественного анализа динамических систем был

А. М. Ляпунов. В нашем обсуждении структурной устойчивости отмечается русское происхождение этого понятия. Впоследствии советские исследователи внесли в разработку топологического подхода к нелинейной динамике вклады слишком многочисленные, чтобы можно было перечислить их все; из ранних работ особенно отметим книгу „Теория колебаний" А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина из последних — работы В. И. Арнольда по теории особенностей и динамике.

Именно из союза теории особенностей и динамики родилась „теория катастроф". Предмет ее не вполне определен; Ренэ Том считает ее умонастроением, а не теорией в обычном смысле. (Правда, и сам этот обычный смысл не вполне определен, и история, скажем, теории инвариантов обнаруживает тот же психологический характер.) Умонастроение неизбежно меняется от одного специалиста по катастрофам к другому, но общими чертами остаются: особое внимание к типичности, к структурной устойчивости и к геометрической точке зрения. Применение этих понятий и этой точки зрения, вкупе с созданным для их обслуживания техническим инструментарием, и характеризует в грубых чертах теорию катастроф в ее самом широком смысле.

Применения эти находятся как в самой математике, так и в других науках и имеют перекрытия с другими „умонастроениями“, такими, как топологическая динамика, теория особенностей, теория бифуркаций, неравновесная термодинамика, синергетика... Уточнение границ мы можем предоставить историкам науки.

В настоящей книге мы описали ограниченный инструментарий, называемый часто элементарной теорией катастроф, в фокусе внимания этой теории — особенности вещественнозначных гладких функций и параметризованные семейства таких функций. Ранние исследования Хасслера Уитни привели Тома к формулировке ряда гипотез о таких особенностях; они были затем доказаны самим Томом, Мальгранжем, Мезером и другими математиками. В результате, после данных Мезером обобщений, сформировался новый предмет, носящий теперь название теории особенностей, в основном те же идеи были независимо развиты

В. И. Арнольдом, и благодаря „перекрестному опылению“ возникло цветущее поле исследований. Таким образом, с математической стороны элементарная теория катастроф является одновременно частью и предшественником теории особенностей.

Есть две причины для того, чтобы остановиться на таком ограничении материала. Во-первых, математическая теория развита здесь гораздо полнее; во-вторых, можно обойтись гораздо меньшими предварительными сведениями. Мы здорово подсократили терминологический словарь тополога (например, заменили строгое „в общем положении" неформальным „в типичном случае"), и в итоге книга стала пригодной для того, чтобы ее читали и применяли нематемати-ки, работающие в самых разных областях. Вследствие этого читатели-математики иногда обнаружат места, где им хотелось бы иметь изложение, проведенное с большей строгостью или глубиной. По возможности мы старались давать для таких читателей указания, где найти подобное изложение.

Если бы мы писали эту книгу сегодня, она либо удвоилась бы в объеме, либо часть важного материала пришлось бы опустить. Читателю рекомендуется, в частности, обратить внимание на теорию неполных бифуркаций (особенно на ее эквивариантную форму) М. Голубицкого и Д. Шеффера (см. Comm, Pure Appl. Math. 32 (1979), 21-98, Comm. Math. Phys. 67 (1979), 205—232), на продолжающиеся оптические исследования М. В. Берри и Дж. Ф. Ная с сотрудниками (см. недавние выпуски журналов Королевского общества) и на обзор по топологическим методам в теории бифуркаций Дж. Э. Марсдена (Bull. Amer. Math. Soc. 84 (1978), 1125—1148). Приложения теории катастроф вне „жестких" наук остаются все еще трудным делом, о чем мы будем говорить в главах 17 и 18, но достигнуты известные успехи в придумывании статистических тестов для нелинейных моделей, да и сами проблемы стали яснее. Пока мы не видим оснований для пессимизма (помимо относящихся

ко всем вообще математическим подходам к социологическим наукам), хотя некоторые авторы расходятся с нами во мнениях.

Теория катастроф — математический инструментарий. Как и всякий другой инструментарий, его можно употреблять неправильно. Прошедшее десятилетие свидетельствует, что он является мощным средством, способным пролить свет на решение самых разнообразных проблем, но требует осторожного и умелого обращения. Нашей целью при написании этой книги было снабдить работающих ученых той основой, на которой они могут построить свою собственную философию и свои приемы использования этого инструментария, а вовсе не установить жесткий План Развития, составленный с какой-то одной точки зрения. Мы надеемся, что настоящий перевод внесет полезный вклад в научный прогресс; но в чем мы уверены, так это в том, что как на Востоке, так и на Западе будут получены самые удивительные результаты, которые вознаградят всех нас за затраченные усилия.

Т. П, И. Н. С.

Ковентри Сентябрь 1979

ПРЕДИСЛОВИЕ

Кристоферу Зиману, у ног которого мы сидим, на плечах которого мы стоим.

После появления в середине 60-х годов первых слухов о готовящейся книге Ренэ Тома „Stabilite structurelle et mor-phogenese", вышедшей в конце концов в 1972 году, быстро возрос интерес к предмету, известному теперь как теория катастроф. Том предложил использовать топологическую теорию динамических систем, ведущую начало от работ Пуанкаре, для моделирования разрывных изменений в явлениях природы, и особенно в биологии; он указал на важность в этих рассмотрениях требования структурной устойчивости, или нечувствительности к малым возмущениям. Он также отметил, что при некоторых условиях из этого требования вытекает, что изучаемую систему можно описать локально посредством одной из семи стандартных форм — элементарных катастроф.

Помимо величайшего интереса идеи Тома породили и величайшую смуту, а в последнее время и величайшие споры. Скороспелые утверждения об универсальности теории (частью неверные заявления, основанные на смешении элементарных и неэлементарных катастроф, а частью преувеличения, которые надо отнести на счет „юношеского энтузиазма“ в новой области) повторялись слишком часто без должных оговорок. К тому же кое-где распространилось мнение, что теория катастроф является „чисто качественной", и возник раскол между теми, кто думает, что это хорошо, и теми, кто так не думает. Наличие у теории широкого ряда предшественников во многих областях (что само по себе является проявлением типичности, о которой мы будем говорить в главе 7) привело некоторых к заключению, что эта теория вообще ничего нового не содержит. Спекулятивные распространения теории за рамки, вне которых ее применимость уже не гарантируется соответствующим математическим формализмом, были ошибочно восприняты как настоящие приложения; разгоревшиеся в этих

областях споры отравляющим образом подействовали в других разделах науки, где рассматриваются совсем иные задачи.

Все эти недоразумения и неправильные понимания можно в целом объяснить непривычным математическим языком, на котором излагается теория, и общим стремлением математиков подчеркивать те аспекты теории, которые не всегда согласуются с практическими требованиями ученых-прикладников. Поэтому, например, Тьюринг в ответ на обвинение, что вычислительные машины работают сугубо детерминистически, отвечал, что именно так его просили их проектировать. То же и с топологами, занимающимися теорией катастроф, которые описывают все „качественно", - с той лишь разницей, что просили об этом они сами себя. Вы желаете чисел — пожалуйста, они у нас есть; но большинство топологов попросту не хотят чисел, они ищут „качеств" — хотя порой эти качества и получают ужасающе алгебраическое и даже числовое выражение. Эти проблемы были обострены отсутствием подходящих источников для изучения теории, которые должны лежать где-то между двумя крайностями — непробиваемыми курсами топологии и чересчур рыхлыми популяризациями.

Наша первая цель в этой книге — разъяснить относящуюся сюда математику на языке, доступном научным работникам, знакомым с конечномерным анализом и в небольшом объеме с линейной алгеброй. Это ставит теорию катастроф на ее истинное место как продолжение анализа или его развитие в собственных рамках (а не радикально новое направление или заменитель всех старых методов, как иногда считают). Это также делает ясными и ограничения теории. Если не уяснить себе с достаточной степенью подробности точные математические предпосылки и то, каким образом из них выводятся заключения, нельзя составить правильного представления о том, что теория может, а чего нет. Не раз говорилось, что теорему Тома можно применять, не понимая математики, стоящей за ней; мы не согласны с этим. Более того, мы не согласны с подразумеваемым здесь утверждением, что применять надо именно теорему Тома; анализ большинства серьезных и успешных приложений показывает, что методы и понятия, стоящие за этой теоремой, часто имеют большую важность, чем она сама.

Вторая наша цель — разрушить миф, что теория катастроф является чисто качественной. Мы достигаем этой цели напрямую, давая обзор некоторых из ее количественных приложений. Мы сосредотачиваем свое внимание на физических науках, где существующая математическая теория

естественно ведет к задачам, подпадающим под действие методов теории катастроф, и где эти методы можно использовать как математический инструмент для получения количественной информации, допускающей экспериментальную проверку. Мы делаем особый упор на вычислительных аспектах теории и тех явных расчетах, которые с ее помощью можно произвести, иллюстрируя всё это как математическими примерами, так и приложениями. Методы теории катастроф играют в физических науках ясно определенную (хотя и не универсальную) роль, и важно, чтобы полемике по поводу ее менее прочно стоящих приложений не было позволено затемнить этот факт.

Математические главы, составляющие первую половину книги, в принципе не дают ничего большего, чем представление о теории, такой, как она сейчас сложилась; новым в нашем подходе является использование „обычной" математики (входящей в стандартный багаж научных работников) для мотивировки принятого в теории катастроф стиля мышления и получаемых результатов. Мы не приводим строгих доказательств сильных теорем (где и заключена самая глубокая и самая новая математика), но по-новому выявляем геометрическую суть соответствующих рассуждений, что объясняет (лучше, чем строго формальное изложение), почему верны эти результаты. Независимо от всяких приложений, математические теоремы теории катастроф представляют собой существенный вклад в важную и естественную проблему — исследование особенностей семейств гладких функций. Наше изложение этих теорем может также оказаться полезным в качестве содержащего мотивировки введения для тех, кто пожелает изучить эту математику более глубоко.

Один из результатов, которые мы здесь доказываем явно (используя лишь элементарный анализ), — это важная лемма о расщеплении, с помощью которой можно уменьшить (и часто радикально) число переменных в рассматриваемой задаче. Некоторым этот результат кажется наиболее удивительным во всей теории; его по существу классическая природа, как и он сам по себе, заслуживают большей известности.

Вторая половина книги отведена приложениям. Мы не только обсуждаем уже устоявшиеся и хорошо известные приложения, но приводим и совсем недавние результаты, которые менее известны, и даже материал, еще не появлявшийся в печати. К последней категории приложений относятся: исследование устойчивости идеализированной плавучей платформы в главе 10; сечения миражей и звуковых

ударов в главе 11; количественное использование нелокального бифуркационного множества катастрофы эллиптической омбилики в главе 12 в связи с изучением течений жидкости; части главы 13 об упругих конструкциях, особенно трактовка катастрофы двойной сборки при выпучивании пластин; многое из главы 14 о термодинамике; теория пчел и новые катастрофы с ограничениями в главе 16, а также материал, относящийся к образованию биохимических и экологических границ. В главе 15 всё новое и целиком принадлежит Бобу Гилмору и Лоренцо Нардуччи.

Читатель, уже знакомившийся ранее с литературой по теории катастроф, встретится здесь со многим, чего он раньше не видел, а также и с некоторыми прежними любимцами. На деле теперешний взрывной рост в теории катастроф таков, что если бы эта книга пошла в печать летом 1976 года, то, грубо говоря, половина материала по приложениям не могла бы быть включена в нее. Время сильно поджимало нас в работе над книгой (надеемся, что это не слишком отразилось на оставшихся в ней ошибках), и этот нажим лишь частично исходил от издателей — мы постоянно ощущали за спиной горячее дыхание самого предмета.

Подробный список обсуждаемых нами приложений можно найти на страницах оглавления, и мы не будем его повторять. В связи с этим списком необходимо сделать два замечания. Первое: мы старались, насколько только было возможно, консультироваться у специалистов в соответствующих областях приложений, удостоверяться, что наше изложение отвечает духу сегодняшнего мышления в этих областях. Это, конечно, не значит, что знатоки будут согласны с нашим теоретизированием. Но, во всяком случае, у читателя не создастся впечатления (которое остается от слишком многих работ), что вся физика, участвующая в приложениях, принадлежит девятнадцатому веку. Проповедуя, что физика слишком цепляется за математику девятнадцатого века (а в некоторых областях, как нам кажется, дело обстоит именно так), надо избегать аналогичной ошибки в обратную сторону. Не будучи сами физиками, судостроителями, биологами, инженерами, мы взяли бы на себя слишком много, если бы надеялись, что целиком преуспели в своей попытке, но во всяком случае мы старались.

Второе замечание состоит в том, что многие из приложений, особенно в главах 11—13, относятся к системам, описываемым уравнениями в частных производных. Да, именно так, несмотря на тот факт, что „законными являются здесь лишь системы, описываемые уравнениями из некоторого специального класса обыкновенных дифференциальных

уравнений, — факт, который часто выдвигается как возражение. Но дело в том, что математика не всегда хорошо размещается в уютных категориях, по которым мы ее рассовываем. Бифуркации, поддающиеся описанию при помощи (элементарной) теории катастроф, наблюдаются для уравнений из гораздо более широкого класса, чем упомянутый специальный класс (градиентных обыкновенных дифференциальных уравнений), для которого наиболее очевидно, что это — единственные бифуркации, могущие происходить устойчиво. Строгое изучение уравнений с частными производными часто — хотя, конечно, не всегда — приводит к элементарным катастрофам. Изучение любой математической задачи может привести в область, отличную от той, где она была поставлена.

Предпоследняя глава содержит краткий обзор некоторых попыток применения моделей, внушенных теорией катастроф, в социологических науках и теориях поведения. Соотнося их с предшествующим, мы оказываемся в состоянии дать обоснованную и (надеемся) конструктивную критику моделей этого типа. Глава служит также для демонстрации того, насколько широк спектр попыток применения теории катастроф. Нам думается, что беспристрастное обсуждение этой спорной области поможет представить ее в истинном свете. Поэтому в заключение мы приводим один простой пример, когда и моделирование с элементарными катастрофами, и неявные гипотезы о равновесии из традиционной описательной („словесной") экономики („невидимая рука рынка") терпят неудачу самым очевидным образом.

Мы не считаем, что разрешение этого частного спора представляет существенную важность для развития теории катастроф в целом; не в большей степени, чем аргументы, касающиеся астрологии, биоритмов или общей теории относительности, могут поколебать положение сферической тригонометрии, гармонического анализа или дифференциальной геометрии. Наше собственное мнение о вероятном будущем теории катастроф кратко изложено в заключительной главе и может быть резюмировано следующим образом. В непосредственном будущем лишь физические науки извлекут из нее действительную выгоду, поскольку они имеют дело с „простыми" системами, в крайнем случае со „статистически простыми" (появившимися ближе к нашему времени) — системами неорганизованной сложности. Организованная сложность биологии представляется наиболее вероятным объектом изучения на следующем, „промежуточном" этапе, но здесь уже может понадобиться вся теория динамических систем (имеющая теорию катастроф лишь малой,

хотя и существенной составляющей). Организованная сложность социальных систем вряд ли будет хорошо понята, пока мы не освоимся как следует с биологическими системами. Единственный важный вопрос, который нужно решить в настоящий момент, — это стоит ли вообще заниматься теорией катастроф. По нашему убеждению — да, нужно, даже ради одной только немедленной отдачи в физике; даст ли это нам возможность совершить маленький шаг вперед в понимании более захватывающих проблем человеческого существования — вопрос, который разумно отложить для будущих поколений.

Книга такого типа, идущая вразрез с традиционными сюжетными линиями, была бы невозможна, если бы не великодушная помощь специалистов в затронутых областях, которым мы выражаем искреннюю признательность. Одного Кристофера Зимана нужно было бы упоминать в этой связи столько раз, что это практически невозможно сделать, — еще вопрос, продвинулась ли бы без его пионерских усилий и энтузиазма эта наука так далеко, чтобы достаточное число людей вообще знали о ее существовании, не говоря уж о том, чтобы дело дошло до критического наступления на нее. Оба автора этой книги впервые соприкоснулись с теорией катастроф на его лекциях, и мы надеемся, он примет за комплимент, если мы скажем, что его преподавание было столь успешным, что мы не только стали понимать тонкости теорий Тома и роль Зимана в их развитии, но при случае оказывались несогласными с ними обоими! Ему с уважением посвящается эта книга.

Каждый контакт с Ренэ Томом проливал новый и часто таинственный свет на красоты математики и на рассматриваемые вопросы. Кен Эштон предоставил в наше распоряжение собранные им экологические данные. Рут Беллэрз рассказала о своих экспериментах и выправила наш биологический язык. Майкл Берри позволил заимствовать у него широкие познания в оптике вместе с некоторыми фотографиями; он и Мэлком Мэкли были столь же щедры по части динамики жидкости, а Мэлком Мэкли простер свою щедрость до того, что предоставил нам еще до появления собственной публикации копии прекрасных фотографий течений жидкости, которые украшают главу 11 и каждая из которых потребовала с его стороны многих часов работы. Как экспериментальное свидетельство серьезного технического применения теории эти фотографии существенны для миссии этой книги.

Билл Саппл, Джайлз Хант, Майкл Томпсон и Майкл Сьюэлл держали нас в известности о продвижениях в

инженерном деле и корили за невежество. Эдгар Эшер и Боб Гилмор обучили нас термодинамике. Колин Ренфри, Элан Уилсон, Роберт Мэгнус и Дейвид Питт позволили использовать их неопубликованные работы; Боб Гилмор по существу написал для нас главу 15. Наш первоначальный план сотрудничества с Тедом Вудкоком, который должен был написать несколько глав по биологии, сорвался под нажимом сроков; однако в душе он с нами, а более материально представлен некоторыми своими машинными графиками.

Недостаток места не позволяет нам перечислить еще несколько десятков лиц, которые внесли существенный вклад в содержание книги или содействовали поднятию морального духа авторов.

И. Н. С. Т. П.

Март 1977 Ковентри и Женева

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление