Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Координаты Керра

В заключение данного параграфа мы приведем результат Керра [157], который особенно важен при изучении алгебраически специальных точных решений вакуумных уравнений Эйнштейна.

Лемма (Керра)

Если есть аналитическая БСК и выполняются уравнения то существуют комплексные скаляры , такие, что

Доказательство. Комплексифицируем и перейдем к Нам нужно показать, что величина

(в смысле комплексных переменных) на пропорциональна некоему градиенту. Это возможно при условии [формула (7.1.59)] т. е. в силу формулы (3.4.23) [ср. с формулой (7.1.60)] при условии

где использовано уравнение (4.9.7), а также заданное условие для Из того что есть БСК, следует равенство

[формула (7.3.31)], которое после свертки с (7.3.47) дает

где слагаемое, содержащее спинор X, выпало в силу формулы (4.6.35) и заданного условия для Правая часть равенства (7.3.49) преобразуется к виду [формула (7.3.24)]

Тем самым доказано равенство (7.3.46), а вместе с ним и лемма.

Напомним, что величина была определена ранее в формуле (7.1.31) как мера изменения направления флагштока

При масштабном преобразовании -она преобразуется по закону что позволяет нормировать на единицу: Отметим, что если удовлетворяются вакуумные уравнения Эйнштейна или уравнения Эйнштейна — Максвелла с космологическим членом или без него (в первом случае спинор должен совпадать с ГИН электромагнитного спинора то выполняется второе из условий для кривизны в лемме Керра [формула (5.2.6)], а также условие III обобщенной теоремы Голдберга — Сакса (7.3.35) как следствие вакуумных эйнштейн-максвелловских тождеств Бианки (5.2.7) и, таким образом, остальные два условия леммы Керра будут следовать одно из другого. Действительная и мнимая части величины со играют роль естественных координат для многообразий пространства-времени такого типа и используются при отыскании точных решений. Аналогично можно в случае расходящихся лучей ввести естественные спиновые системы отсчета, связанные с так что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление