Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Неизопараметрические лучи

Матрицы, которые мы использовали выше, можно обобщить по аналогии с (7.1.41) так, чтобы включить в рассмотрение неизопараметрические лучи, близкие к (По-прежнему считаем, что конгруэнция геодезическая, и выполняются уравнения Для этого переопределим матрицы следующим образом:

и тогда с помощью формул (7.1.41), (7.2.4) и (7.2.5) так же, как и выше, получаем уравнения (7.2.6) и (7.2.8). Цепочка преобразований, аналогичная равенствам (7.2.10), снова приводит к уравнениям Сакса вида (7.2.11) в матричной форме. Кроме исходных уравнений Сакса (7.2.12) эта система содержит также уравнение для коэффициента

которое, если учесть систему уравнений (4.2.15), совпадает с уравнением (4.12.32в) прих с формулами (7.1.22), (4.5.29)].

Решение уравнения (7.2.20) в плоском пространстве вида (7.2.22) непригодно, поскольку матрица Р формулы (7.2.24) в этом случае сингулярна. Однако в пространстве Минковского М (а также в искривленном пространстве-времени в котором величины равны нулю на рассматриваемом луче существует другой способ решения этих уравнений. Рассмотрим три произвольных независимых решения уравнения (7.2.6), в котором, однако, матрицы заменены трехрядными матрицами вида (7.2.24), и определим -матрицу

столбцами которой служат эти решения. Из (7.2.8) имеем

так что величина линейна по и:

где — постоянные матрицы . Отсюда с учетом формул (7.2.6) получаем

так что

Формулу (7.2.22) можно было бы получить, положив Эта же формула допускает бесконечное число эквивалентных способов записи, поскольку выражение (7.2.30) есть инвариант преобразования определяемого произвольной несингулярной -матрицей Т. Мы выбираем так, чтобы нули располагались в первом ряду [для согласования второй формулы (7.2.24) с формулой но в остальном она произвольна. Вместо этого можно было бы выбрать и положить

что приводит к решению уравнения (7.2.20) с матрицей Р в формуле (7.2.24) в виде

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление