Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Введение когомологий

Указанная выше процедура позволяет построить широкий класс твисторных функций, дающих положительно-частотные поля. Но в ней есть один недостаток: область сингулярностей получающегося поля в неоднозначно связана с областью сингулярностей твисторной функции. Особенно ясно это видно из рассмотренного выше примера поля со спином 0 [формула (6.10.43)]; поле в формуле (6.10.46) остается неизменным, если величины заменить величинами

где Множества сингулярностей в этом случае представляют собой две произвольные неколлинеарные плоскости, проходящие через прямую По существу мы даже не обязаны ограничиваться выбором твисторной функции в виде (6.10.43). То же самое поле (в трубке будущего) можно получить, взяв твисторную функцию множества, сингулярности которой в вообще не являются плоскостями. Более того, если взять разность двух твисторных функций, дающих одно и то же поле, но таких, что множества их сингулярных точек не пересекаются, то мы получим отличную от нуля твисторную функцию, которая дает нулевое поле. Отмеченной неопределенностью несколько омрачается элегантность описания безмассовых полей в рамках твисторного формализма. Но с другой (и более глубокой в математическом отношении) точки зрения эта неприятная особенность предстает как необходимый атрибут весьма элегантного математического формализма, называемого теорией когомологий пучков. С этой точки зрения твисторная волновая функция должна рассматриваться не как обычная функция, а как функция «второго порядка» (смысл этого термина мы вскоре поясним). Функции такого типа, если говорить специальными терминами, являются элементами «первых групп когомологий пучков» и в дальнейшем называются 1-функциями в отличие от обычных функций, которые являются элементами «нулевых групп когомологий пучков» и кратко называются -функциями.

Чтобы развить требуемый формализм, рассмотрим еще раз ситуацию, изображенную на рис. 6.12 (или на рис. 6.11). Здесь мы имеем дело с пространством поскольку именно оно отвечает трубке будущего в т. е. области, в которую голоморфно продолжается обычная одночастичная волновая

функдия в координатном представлении. Напомним, что мы условились рассматривать функции с сингулярностями, сосредоточенными в двух несвязных замкнутых подмножествах пространства которые в дальнейшем мы будем обозначать через и Но более целесообразно говорить не об областях сингулярности функции а об области ее голоморфности. Этому соответствует удобная запись

причем

Отметим, что

и, следовательно, множества 41 и 7 образуют открытое покрытие пространства

Если рассматривать только функции, определенные на множестве 41 Г) У фиксированного вида, так, как это мы делали для твисторных волновых функций (когда при переходе к полям в пространстве-времени для каждой прямой в интеграле можно было задавать фиксированный контур независимо от вида функции), то нам вновь придется столкнуться с трудностями. Например, некоторые из функций рассматриваемого типа при интегрировании всегда дают нуль; это те функции, которые голоморфно продолжаются на всю область 41 или область У (поскольку в этом случае контур можно стянуть в точку с одной из сторон римановой сферы), а также любая линейная комбинация таких функций с постоянными коэффициентами. Простой пример такого рода, когда области имеют вид плоскостей, показанных на рис. 6.11, дает функция

Каждое из слагаемых имеет только одну сингулярность на римановой сфере, так что в каждом из интегралов контур может быть стянут в точку, и в результате получаем нуль. Другим примером может служить разность функции (6.10.43) и твисторной функции, которая получается из нее путем замены выражениями (6.10.50). В самом деле, при выполняется тождество

где в нашем случае нужно положить Мы определяем область как объединение двух плоскостей и аналогично определяем

область . (Следует положить чтобы объединение действительно покрывало Первое слагаемое в правой части равенства (6.10.55) голоморфно на , а второе на У, и поэтому при интегрировании опять получается нуль. Таким образом, твисторные функции на пересечении нельзя однозначно сопоставить волновым функциям.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление