Переход от спинорной к тензорной форме записи, и наоборот; преобразование дуальности
Для спинора 
валентности 
соотношение неприводимости
в тензорной форме имеет вид
где число независимых компонент тензора равно 
Поскольку пространство мировых векторов четырехмерно, в нем определен альтернирующий тензор еаьса, полностью антисимметричный, т. е. удовлетворяющий равенству еаьса 
который мы нормируем условием вот 
в стандартной тетраде Минковского [формула (3.1.20)]. В спинорных переменных имеем
В случае симметричного тензора 
его бесследовую часть
можно представить в виде
Если симметрия тензора 
заранее не предполагается, то второе выражение в формуле (3.4.5) определяет симметризованную бесследовую часть этого тензора. В случае симметричного тензора 
тензор, обращенный по следу, 
допускает простые спинорные представления
Всякий (комплексный) антисимметричный тензор 
можно (однозначно) представить в виде
где 
— симметричные спиноры. В случае действительного тензора 
имеем
Определяя тензор, дуальный тензору 
как
находим
где 
если — действительный тензор, и
Операцию дуального отображения можно выполнять лишь по некоторой части индексов: если 
то
что также допускает спинорные представления вида (3.4.22) и (3.4.23). Отсюда следует, что
Отметим, что
Аналогично можно ввести отображение дуальности на одном или на трех индексах:
где 
. Тогда
Мы говорим, что кососимметричный комплексный тензор второго ранга 
будет (I) антисамодуальным или (II) самодуальным, если
Для тензора 
общего вида (3.4.17) мы определяем антисамодуальную часть
и самодуальную часть
так что 
а также выполняется соотношение
Условия (3.4.35) антисамодуальности и самодуальности в спиновой форме записываются в виде I. 
т.е.
Комбинируя спинорную форму записи симметричной и антисимметричной частей тензора, мы получаем следующую тензорную запись перестановки пары спинорных индексов:
где 
Навав есть тензор общего вида (который может иметь дополнительные индексы). Отметим, что кососимметричная часть тензора 
записывается в виде
и аналогичное выражение справедливо для симметричной части 
Очевидно, что результаты данного подраздела верны и в том случае, если имеются и дополнительные индексы.
