Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Переход от спинорной к тензорной форме записи, и наоборот; преобразование дуальности

Для спинора валентности соотношение неприводимости

в тензорной форме имеет вид

где число независимых компонент тензора равно

Поскольку пространство мировых векторов четырехмерно, в нем определен альтернирующий тензор еаьса, полностью антисимметричный, т. е. удовлетворяющий равенству еаьса который мы нормируем условием вот в стандартной тетраде Минковского [формула (3.1.20)]. В спинорных переменных имеем

В случае симметричного тензора его бесследовую часть

можно представить в виде

Если симметрия тензора заранее не предполагается, то второе выражение в формуле (3.4.5) определяет симметризованную бесследовую часть этого тензора. В случае симметричного тензора тензор, обращенный по следу, допускает простые спинорные представления

Всякий (комплексный) антисимметричный тензор можно (однозначно) представить в виде

где — симметричные спиноры. В случае действительного тензора имеем

Определяя тензор, дуальный тензору как

находим

где если — действительный тензор, и

Операцию дуального отображения можно выполнять лишь по некоторой части индексов: если то

что также допускает спинорные представления вида (3.4.22) и (3.4.23). Отсюда следует, что

Отметим, что

Аналогично можно ввести отображение дуальности на одном или на трех индексах:

где . Тогда

Мы говорим, что кососимметричный комплексный тензор второго ранга будет (I) антисамодуальным или (II) самодуальным, если

Для тензора общего вида (3.4.17) мы определяем антисамодуальную часть

и самодуальную часть

так что а также выполняется соотношение

Условия (3.4.35) антисамодуальности и самодуальности в спиновой форме записываются в виде I. т.е.

Комбинируя спинорную форму записи симметричной и антисимметричной частей тензора, мы получаем следующую тензорную запись перестановки пары спинорных индексов:

где Навав есть тензор общего вида (который может иметь дополнительные индексы). Отметим, что кососимметричная часть тензора записывается в виде

и аналогичное выражение справедливо для симметричной части Очевидно, что результаты данного подраздела верны и в том случае, если имеются и дополнительные индексы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление