Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Условие совместности для твисторного уравнения

Хотя мы будем излагать теорию локальных твисторов применительно к действительному лоренцеву пространству-времени,

каждый этап построения теории допускает переход к комплексному пространству-времени, выполняемый по правилам, сформулированным в предыдущем разделе. При этом, однако, следует помнить о некоторых особенностях такого перехода. Например, условие при котором пространство является конформно-плоским, в контексте комплексного пространства-времени следует понимать как . В этой связи сделаем одно замечание. Как мы видели, из условия совместности (6.1.6) для твисторного уравнения (6.1.1) следует, что это уравнение имеет несколько (более одного) линейно независимых решений, если Казалось бы, что отсюда можно сделать вывод о существовании полного семейства решений в левом конформно-плоском пространстве-времени, для которого это условие выполняется автоматически. Действительно, это верно в случае безмассовых полевых уравнений (4.12.42), для которых условия (5.8.2) Бухдала — Плебаньского выполняются, если но , и в этом случае локально существует широкое семейство решений для полей с произвольно большим числом нештрихованных индексов как в левом конформно-плоском, так и в плоском (комплексном) пространстве-времени. (Аналогичный результат, разумеется, справедлив и в случае полей со штрихованными индексами в правых конформно-плоских пространствах.) Однако твисторное уравнение приводит к более жестким ограничениям, чем уравнения для безмассовых полей (это явствует уже из того, что даже в плоском пространстве-времени данное уравнение допускает только конечномерное пространство решений). Заметим, что, как следствие из второго уравнения (4.9.8), часть спинора

кососимметричная по индексам В, С, равна нулю, если таким образом, если выполняется твисторное уравнение (6.1.1), то выражение (6.9.2) обращается в нуль, будучи кососимметричным по индексам Стало быть, для решений твисторного уравнения в левоплоском комплексном пространстве-времени в силу формулы (4.9.14) имеем

Отсюда следует, как и в случае уравнения (6.1.6), что твисторное уравнение допускает только ограниченное семейство решений, если спинор не равен нулю. Фактически же всякое левоплоское комплексное пространство-время всегда допускает (локально) два линейно-независимых решения уравнения

В самом деле, в силу соотношения (4.9.7) коммутаторы производных дают нуль при действии на нештрихованный спинор: Таким образом, можно фиксировать произвольное значение спинора в точке, а затем с помощью параллельного переноса непротиворечиво продолжить эту величину на всю окрестность выбранной точки. В общем случае не существует других решений уравнения (6.9.3), а следовательно, и твисторного уравнения в левоплоском пространстве. (Еще одно линейно-независимое решение существует в том случае, когда спинор изотропен и принимает постоянные значения.) На этом мы завершаем отступление, посвященное комплексному пространству-времени, и возвращаемся к теории локальных твисторов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление