Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Кривизна и конформные преобразования

В предыдущем параграфе мы видели, что операции 1, 2, 5 и 6 в формуле (6.7.46) приводят к тривиальным операторам второго порядка, поскольку дают нуль, если операторы V коммутируют. Тем не менее оказалось, что они играют существенную роль. В случае искривленного пространства-времени (или в присутствии электромагнитного взаимодействия) эти операции тоже не приводят к операторам второго порядка. Они сводятся к сверткам величин вида с тензором кривизны (или тензором электромагнитного поля). В данном параграфе для нас важно то, что из конформной инвариантности этих операций вытекают конформные свойства кривизны. Отметим, что операция 6 в формуле (6.7.46) совпадает с отображением (5.8.1), входящим в определение условий совместности безмассовых полей, из которого (при получается следующий результат:

Аналогично отображение 1 в формуле (6.7.46) входит в условие совместности для твисторного уравнения (6.1.1) и его обобщения (6.4.1). Выбирая для простоты случай (случай по существу не отличается от рассматриваемого), находим из

Операции 5 и 2 в формуле (6.7.46) получаются из приведенных выше с помощью комплексного сопряжения.

Конформная инвариантность спинора

Значение конформной инвариантности соотношений (6.7.46) состоит для нас в том, что из самого вида этих операций явствуют конформные свойства спинора Самым простым для анализа оказывается случай отображения (6.8.2). Выберем [поскольку закон преобразования при конформных отображениях уже рассматривался выше — см. формулу (5.9.8)]. Далее, из (6.7.28) и (6.7.29) имеем

откуда

Но величина произвольна, а следовательно,

Такой закон преобразования показывает, что величина Чдвсо связана с той частью кривизны, которая остается инвариантной при конформных преобразованиях. Так как равенство выполняется в плоском пространстве-времени, оно остается справедливым и в конформно-плоском пространстве-времени. Более того, как мы увидим далее (в § 9), условие оказывается даже достаточным для того, чтобы пространство было конформно-плоским (т. е. для всякой точки пространства-времени имеется окрестность, в которой существует конформный множитель такой, что метрика совпадает с плоской в этой окрестности). Вот почему величину называют конформным спинором (Вейля). В силу соотношения (4.6.41), связывающего с тензором Вейля имеем

Сравним соотношение (6.8.4) с законом преобразования [формула (5.7.17)]

выражающим свойство конформной инвариантности безмассового поля со спином 2. Различие между этими двумя соотношениями заслуживает специального обсуждения. Ситуация здесь полностью противоположна случаю электромагнитного поля, когда требование конформной инвариантности уравнения для свободного безмассового поля, которому должен удовлетворять спинор и требование, чтобы этот спинор получался из коммутатора ковариантных производных на заряженных полях, приводят к одному и тому же конформному весу, равному —1 [см. текст после формулы (5.9.8)]. Различие между (6.8.4) и (6.8.6) связано с тем, что уравнения общей теории относительности не являются конформно-инвариантными. Одно из проявлений этого — то, что правая часть конформных тождеств Бианки (4.10.7) не будет конформной плотностью. Действительно, допустим, что мы имеем вакуумное решение уравнений Эйнштейна; при этом соответствующий спинор Вейля Чдвсд удовлетворяет уравнению

Полагая Фавсо используясь законом преобразования (6.8.6), находим . С учетом этого из (6.8.4)

получаем

т. е. [формула (5.6.14)]

так что в силу формулы (4.10.7) конформный образ спинора Риччи должен удовлетворять уравнению

а поскольку эта величина, вообще говоря, не равна нулю (в отличие от ), спинор Риччи не имеет определенного конформного веса. Следовательно, конформный образ некоторого решения (пространства-времени) уравнений Эйнштейна, вообще говоря, не удовлетворяет вакуумным уравнениям.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление