Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Другие виды потенциалов; связь с оператором

Существует другой тип (полностью симметричного) потенциала для безмассового поля с произвольным спином (в плоском пространстве-времени), с которым работать несколько проще. Соотношение между полем и потенциалом в этом случае имеет вид

где на потенциал налагается несколько более жесткое условие, чем (6.4.13) (так как отсутствует симметризация),

Данное уравнение в отличие от уравнения (6.4.13) не обладает свойством конформной инвариантности. Но зато для заданного поля всегда можно построить такие потенциалы (локально) с произвольным числом штрихованных и нештрихованных

индексов вплоть до не только с одним нештрихованным). В самом деле, если потенциал имеет по крайней мере один нештрихованный индекс (противоположный случай будет рассмотрен далее), то из (6.4.23) следует, что спинорное поле

будет симметричным по индексам и, следовательно, полностью симметричным, а также что оно удовлетворяет уравнению вида (6.4.23). (При доказательстве этого приходится принимать, что производные коммутируют, т. е. ограничиваться случаем плоского пространства-времени.) Таким образом, мы получаем симметричное безмассовое поле, которое удовлетворяет правильному уравнению, а также представимо в виде (6.4.22). Заметим, что мы нигде не использовали симметрию спинора по штрихованным индексам, и, вообще говоря, он не обязательно должен быть симметричным; но, поскольку кососимметричные части выпадают в соотношении (6.4.22), мы можем без потери общности ограничиться случаем симметричного спинора. Заметим также, что из уравнения (6.4.23) следует соотношение

которое представляет собой калибровочное условие Лоренца (5.1.47), обобщенное на электромагнитный потенциал. Кроме того, из (6.4.23) следует, что выражение

симметрично по индексам , а также по М, Е (поскольку производные в плоском пространстве коммутируют), а следовательно, по Таким образом, потенциал удовлетворяет волновому уравнению

где

есть оператор Даламбера, определенный формулой (5.10.6) [см. также формулу (6.8.26) ниже].

Можно даже построить величину (которую без потери общности можно считать симметричной) типа потенциала Герца. Этот потенциал содержит только штрихованные индексы и удовлетворяет единственному уравнению

Как и в случае формулы (5.10.7), из уравнения (6.4.27) следует соотношение а значит,

Теперь можно подставить величину в скобках вместо в соотношение (6.4.24) и повторить рассуждения; в конечном счете получим

Каждое из выражений вида (6.4.22) для потенциалов , удовлетворяющих перечисленным выше требованиям, включая (6.4.28), дает (локальное) представление пройзвольного безмассового поля. Каждое из них определено с точностью лишь до калибровочных преобразований, включающих только безмассовые поля со спином, не превышающим спин поля а также производные этих полей [237]. Пользуясь этим, можно еще более редуцировать спинор входящий в соотношения (6.4.27), (6.4.28), а именно к виду - (локально), где — постоянный спинор, не зависящий от поля удовлетворяет уравнению Таким образом, свободное поле с заданным спином локально имеет столько же степеней свободы, как и скалярное безмассовое поле что, впрочем, нам уже известно из результатов гл. 5, § 11.

Интересно, что главная часть произвольного симметричного [-твистора удовлетворяет волновому уравнению в плоском пространстве-времени:

(99). Чтобы доказать это, заметим, что в пространстве М мы имеем равенство

[которое следует из (2.5.24), поскольку его левая часть кососимметрична по , так как операторы V коммутируют; см. также (6.8.33)]. Применив равенство (6.4.30) к производной левой части первого уравнения (6.4.29), свернутой по индексу М, получаем

откуда в силу формулы (3.5.15) вытекает требуемое равенство

Как следствие утверждения (6.4.29) мы легко получаем обобщение уравнения (6.4.2) на случай, когда поля имеют одинаковое число (симметризованных) индексов:

Мы ограничивались пространством Минковского М, но, учитывая конформную инвариантность обоих уравнений в исходном условии утверждения (6.4.31) (поля и имеют конформный вес 0 и -1 соответственно), а также результат (6.8.30), который будет получен ниже, можно показать, что утверждение (6.4.31) справедливо и в конформно-плоской пространстве-времени, если даламбертиан заменить оператором

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление