Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Комплексная геометрия

Отметим, что равенством (6.2.15) определяется комплексный вектор, а следовательно, точка в в комплексификации пространства Минковского (VI независимо от того, будет ли твистор или изотропным, а также независимо от того, ортогональны эти два твистора или нет, лишь бы их проекционные части [см. замечание после формулы (6.1.44)] не были пропорциональны. В действительности при изучении твисторов часто оказывается полезным рассматривать их связь с комплексными подмножествами в Уравнению (6.2.2), которым определяется луч в М, если твистор изотропный можно придать смысл уравнения, определяющего некоторое подмножество точек в Это подмножество не является комплексификацией луча в обычном смысле. Оно определено независимо от того, будет ли твистор изотропным или нет, имеет комплексную размерность, равную двум, и, следовательно, действительную размерность, равную четырем, и называется а-плоскостью (гл. 9, § 3). Аналогично дуальный твистор определяет -плоскость (комплексно-сопряженную -плоскости) как область значений в решений уравнения

Далее, а-плоскость (-плоскость) есть геометрическое место точек в в которых обращается в нуль главная часть некоторого твистора . Тогда выражением (6.2.15) определяется единственная точка пересечения -плоскостей, соответствующих твисторам и - Мы говорим, что твистор инцидентен точке , если его -плоскость (-плоскость) содержит точку кроме того, твисторы инцидентны в том и только в том случае, если их и -плоскости пересекаются.

Твистор общего вида, -плоскость которого проходит через точку пересечения -плоскостей твисторов имеет вид

где и одновременно не обращаются в нуль. Справедливость равенства (6.2.16) легко установить, замечая, что общие (комплексные) нули главных частей твисторов должны быть также нулями главной части твистора Чтобы доказать обратное, достаточно поменять ролями твистор и твистор или

Отметим, что если твисторы изотропны и пересекаются, то твистор тоже будет изотропным. В этом случае равенство (6.2.16) — уравнение светового конуса с вершиной в точке Можно считать, что семейством а-плоскостей определяется точка . В действительности всякому двумерному подпространству твисторного пространства может быть сопоставлена определенная точка пространства Минковского. Вообще говоря, это будет точка комплексифицированного пространства Минковского поскольку вектор определяемый соотношением (6.2.15), не будет действительным, если только твисторы не изотропны и не ортогональны. Только в том случае, когда каждый элемент линейного пространства будет изотропным, этому пространству отвечает точка в М. Эта точка конечна лишь в том случае, если выражение (6.2.15) конечно, т. е. если в этом линейном пространстве существует пара твисторов, проекционные части которых не пропорциональны друг другу. (Подробно о геометрии такого пространства говорится в гл. 9, § 3.)

Одна из основных идей теории твисторов состоит в том, чтобы предложить альтернативный способ описания физических явлений, при котором точки пространства-времени, т. е. «события», уже не играли бы фундаментальной роли. Само твисторное пространство рассматривается как более фундаментальный объект, чем пространство-время. Понятие события же выводится из структуры твисторного пространства. Выше мы уже показали, как можно было бы сопоставить событиям определенные линейные подмножества в Та. Эти идеи могут быть развиты гораздо дальше, вплоть до искривленного пространства-времени. Но здесь мы не будем их развивать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление