Конформная инвариантность спиральности и скалярного произведения

Определим спиральность твистора следующим образом:

(аналогично спиральность твистора равна При таком определении спиральность, очевидно, действительна, но может быть как положительной, так и отрицательной. Будем называть твистор изотропным, если его спиральность равна нулю, правополяризованным, если и левополяризованным, если Таким образом, твисторное пространство состоит из трех частей образованных изотропными, правополяризованными и левополяризованными твисторами. Аналогично дуальное твисторное пространство Т. разбивается на компоненты Для обозначения проективных образов этих пространств, т. е. совокупностей содержащихся в них одномерных линейных подпространств (включая начало координат), будем добавлять букву Р перед соответствующим символом (рис. 6.1; гл. 9, § 3).

Из соотношений (6.1.9) и (6.1.3) мы видим, что при конформном преобразовании масштаба выполняется второе из нижеследующих уравнений; первое же просто совпадает с (6.1.2):

Таким образом, спинорное поле не имеет определенного конформного веса. [Отметим формальную аналогию второго уравнения (6.1.75) с уравнением (6.1.10).] Второе уравнение (6.1.75) описывает результат конформного изменения масштаба данного многообразия М. При этом считается, что вариация конформного множителя не влияет на сам твистор Однако вид его представления с помощью спинорных частей изменяется, если не приписать полю специальных трансформационных свойств.

Рис. 6.1. Проективное твнсторное пространство образовано одномерными линейными подпространствами твнсторного пространства . Оно состоит из трех областей

Из уравнения (6.1.75) следует, что можно рассматривать не как поле с определенным конформным весом, а как объект, который при конформных преобразованиях метрики ведет себя более сложным образом. (При этом - нельзя рассматривать независимо от ) С учетом такой интерпретации можно сохранить запись Мы примем такой подход, когда речь пойдет о локальных твисторах в § 9.

Аналог формул (6.1.75) для спинорных частей -твистора имеет вид

[ср. с формулой (6.1.26)]. Теперь мы можем сразу же показать конформную инвариантность твисторного внутреннего произведения (6.1.23), а следовательно, и спиральности, определяемой формулой (6.1.74):

Таким образом, твисторное внутреннее произведение определяется свойствами самого твисторного пространства и не зависит от точки в пространстве-времени и от выбора конформного множителя.