Конформная инвариантность спиральности и скалярного произведения
Определим спиральность
твистора
следующим образом:
(аналогично спиральность твистора
равна
При таком определении спиральность, очевидно, действительна, но может быть как положительной, так и отрицательной. Будем называть твистор
изотропным, если его спиральность равна нулю, правополяризованным, если
и левополяризованным, если
Таким образом, твисторное пространство
состоит из трех частей
образованных изотропными, правополяризованными и левополяризованными твисторами. Аналогично дуальное твисторное пространство Т.
разбивается на компоненты
Для обозначения проективных образов этих пространств, т. е. совокупностей содержащихся в них одномерных линейных подпространств (включая начало координат), будем добавлять букву Р перед соответствующим символом (рис. 6.1; гл. 9, § 3).
Из соотношений (6.1.9) и (6.1.3) мы видим, что при конформном преобразовании масштаба выполняется второе из нижеследующих уравнений; первое же просто совпадает с (6.1.2):
Таким образом, спинорное поле
не имеет определенного конформного веса. [Отметим формальную аналогию второго уравнения (6.1.75) с уравнением (6.1.10).] Второе уравнение (6.1.75) описывает результат конформного изменения масштаба данного многообразия М. При этом считается, что вариация конформного множителя не влияет на сам твистор
Однако вид его представления с помощью спинорных частей изменяется, если не приписать полю
специальных трансформационных свойств.
Рис. 6.1. Проективное твнсторное пространство
образовано одномерными линейными подпространствами твнсторного пространства
. Оно состоит из трех областей
Из уравнения (6.1.75) следует, что
можно рассматривать не как поле с определенным конформным весом, а как объект, который при конформных преобразованиях метрики ведет себя более сложным образом. (При этом
- нельзя рассматривать независимо от
) С учетом такой интерпретации можно сохранить запись
Мы примем такой подход, когда речь пойдет о локальных твисторах в § 9.
Аналог формул (6.1.75) для спинорных частей
-твистора имеет вид
[ср. с формулой (6.1.26)]. Теперь мы можем сразу же показать конформную инвариантность твисторного внутреннего произведения (6.1.23), а следовательно, и спиральности, определяемой формулой (6.1.74):
Таким образом, твисторное внутреннее произведение определяется свойствами самого твисторного пространства и не зависит от точки в пространстве-времени и от выбора конформного множителя.