Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Дуальные твисторы

Поскольку пространство -твисторов может бьпь представлено как прямая сумма пространств спиноров типа в точке О, дуальное [-твисторное пространство также должно быть представимо в виде прямой суммы пространств спиноров типа взятых в точке О. Типичное представление имеет вид

И тогда скалярное произведение определяется следующим образом:

По аналогии с (6.1.13) желательно представлять -твисторы с помощью двух спинорных полей и опуская явную зависимость от выбора начала координат. Мы пишем

причем значения в точке О определяются из соотношений (6.1.22). Потребуем, чтобы выражение (6.1.23) имело место не только в точке О, но и в произвольной точке пространства М:

где, как и прежде, и — постоянные спиноры, принимающие в точке О значения Подстановка выражений (6.1.10) в эти уравнения дает

И поскольку данное соотношение должно выполняться при любых константах , «коэффициенты» при этих спинорах должны быть равны; это приводит к следующим выражениям для полей

Используя соотношения (6.1.26), легко убедиться в том, что поле является решением (и даже общим решением) сопряженного твисторного уравнения

и что по аналогии с (6.1.9) величину можно найти, зная

Таким образом, переменная в выражении (6.1.24) не является независимой, и твистор полностью определяется спинорным полем . В действительности вместо (6.1.24) можно использовать представление, в котором твистор отождествляется с [формула (6.1.11)], и записать представление

которое является конформно-инвариантным, так же как хотя и менее удобным, чем (6.1.24), для построения твисторов высших валентностей.

Полезно выразить внутреннее произведение через спинорные поля Для этого достаточно подставить (6.1.9) и (6.1.28) в (6.1.25). Имеем

Всякое решение уравнения (6.1.27) может быть получено комплексным сопряжением соответствующего решения уравнения (6.1.1): . В этом легко убедиться, сравнив либо непосредственно оба дифференциальных уравнения, либо их общие решения и (6.1.26). Это позволяет нам отождествить -твисторы с величинами, комплексносопряженными -твисторам и наоборот. Следовательно, можно определить

Теперь ясна роль множителя в формуле (6.1.9): он позволяет путем комплексного сопряжения непосредственно переходить от уравнения (6.1.9) к (6.1.28) и от (6.1.10) к (6.1.26). Ниже мы рассмотрим комплексное сопряжение произвольного твистора.

По аналогии с обозначением (6.1.15) мы иногда используем запись

(как в случае спинорных полей, так и в случае спиноров, вычисленных в точке О) для спинорных частей твистора

В дальнейшем нам также потребуется базис дуальный базису (6.1.17). Он должен удовлетворять соотношению

Как нетрудно убедиться, этому условию удовлетворяет базис

Отсюда находим

где

Из данного выражения и равенств (6.1.32) получаем в явном виде

[См. также то, что говорится после формулы (6.1.21).]

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление