Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Данные на изотропной гиперповерхности

Система спинорных полей, удовлетворяющих полевым уравнениям и уравнениям для коммутаторов производных, образует точную систему, если все симметризованные производные могут принимать любые значения в произвольной точке, а все несимметризованные производные могут быть выражены через симметризованные. Всем обычным «самосогласованным» системам полей (например, системе Эйнштейна — Максвелла — Дирака) может быть придана форма точных систем. Пусть — изотропная гиперповерхность, а спинор определен на так, что его флагшток направлен вдоль образующих гиперповерхности Если — поле, принадлежащее рассматриваемой системе полей, то его изотропные данные в точке определяются как

Определение точной системы полей эквивалентно утверждению, что вдоль светового конуса (в аналитическом пространстве-времени ) нулевые данные на для всех полей системы образуют полное неприводимое (без связей) множество начальных данных.

Простейший пример точной системы — единственное свободное безмассовое поле в М. Пусть — изотропная гиперповерхность общего вида (но допустимая) в пространстве М. Тогда можно использовать обобщенную формулу Кирхгофа — Дадемара

чтобы выразить в поле в точке через изотропные данные в точках многообразия которое является пересечением светового конуса точки Р с При смещении точки флагштоки спинора направлены вдоль образующих гиперповерхности и параметр определяется соотношением

Оператор определен в формуле (5.6.33), спиновая система отсчета здесь выбирается в виде

(так что и можно написать

Как и прежде, есть 2-форма элемента поверхности 9 в точке

Для доказательства формулы (5.12.6) мы сначала фиксируем и, изменяя , показываем, что правая часть не зависит от выбора сечения конуса а затем переходим к пределу, когда стягивается к . То, что интеграл не зависит от выбора сечения, следует из формулы (4.14.92) (точнее говоря, из формулы, ей комплексно-сопряженной, с заменой на а также из равенства нулю величины А, определяемой соотношением

Здесь

при , где — константа на М. При желании можно заменить величину — скаляром Г, удовлетворяющим (при условиям

На этом мы заканчиваем сводку наиболее важных результатов первого тома. Он был посвящен в основном установлению связи между фундаментальными понятиями 2-спинорного исчисления и геометрии, а также спинорному описанию наиболее известных физических полей. Далее мы рассмотрим с более общей точки зрения те из важных вопросов геометрии пространства-времени, при анализе которых спинорный метод оказался особенно плодотворным. Сюда относятся асимптотики и тензор энергии-импульса в общей теории относительности, подробная классификация типов кривизны пространства-времени и геометрия изотропных лучей. В качестве большой и важной части нашего изложения нам придется также дать введение, знакомящее читателя с мощными методами теории твисторов. С этого мы и начнем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление