Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Безмассовые свободные поля

Выше мы записали полевое уравнение (4.12.42) для свободного безмассового поля со спином индексов). Комплексно-сопряженная форма этого уравнения

также описывает свободное безмассовое поле со спином но между этими полями существует определенное различие, а именно если мы рассматриваем положительно-частотные волновые функции, то (5.7.3) описывает правополяризованные безмассовые частицы [спиральность ], тогда как (4.12.42) описывает левополяризованные частицы [спиральность ]. Отметим также, что, вообще говоря, эти уравнения выполняются только в (конформно) плоском пространстве-времени, поскольку выкладки

приводят к уравнению связи Фирца — Паули — Бухдала — Плебаньского

Случай четырехмерного пространства Минковского М представляет особый интерес, поскольку в этом случае уравнения для безмассовых полей совпадают с линеаризованными уравнениями общей теории относительности. Мы полагаем, что метрика пространства-времени является гладкой функцией параметра и, причем есть метрика Минковского и

Получаем

для кривизны в приближении слабого поля, а уравнения Эйнштейна в этом пределе имеют вид

— тензор энергии-импульса в приближении слабого поля). Тензор обладает симметриями тензора Римана и в отсутствие источников допускает спинорное описание вида (4.6.41):

В отсутствие источников флвсо удовлетворяет уравнению (4.12.42) для безмассового свободного поля в силу линеаризованных тождеств Бианки

Выражение через линеаризованную метрику таково:

Свойства при конформных изменениях масштаба

Уравнение для безмассового свободного поля (4.12.42) сохраняет свой вид при конформных изменениях масштаба при любом если положить

поскольку в этом случае из соотношения (5.6.15) следует равенство

Другое конформно-инвариантное уравнение — равенство нулю

ковариантной дивергенции бесследового симметричного тензора Действительно, если

то из (5.6.15) мы получаем

Мы видели, что электромагнитный тензор энергии-импульса (5.2.4) принадлежит к тензорам этого типа. То же справедливо для тензора энергии-импульса в случае уравнения Дирака — Вейля (4.4.61) (вместо мы используем символ

— некоторая действительная константа). Проверка уравнения (5.9.1) для тензора (5.8.3) в искривленном пространстве-времени облегчается, если использовать тождество

которое потребуется нам в дальнейшем.

Закон сохранения тока заряда (5.1.54) также конформноинвариантен при замене

Это прямо следует из того, что в силу уравнения (5.1.54) равна нулю внешняя производная величины [формула (3.4.29)]

так как

Отметим, что

а поэтому закон преобразования (5.9.3) согласуется с равенством Естественный закон преобразования величины как 2-формы, а именно тоже согласуется с уравнениями Максвелла, содержащими источник [формула

Следовательно, при обычном законе масштабного преобразования безмассового поля (5.7.17)

уравнение (5.1.52) также является конформно-инвариантным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление