Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Условие фундаментальности; структура спинового пространства

Отсюда мы видим, что размерность пространства фундаментальных спиноров равна в четномерном случае и в нечетномерном случае. Эти значения можно сравнить с размерностями соответственно, пространств (редуцированных) спиноров, которые не обязательно удовлетворяют условию фундаментальности. Первые несколько значений этих размерностей

приведены в таблице (Б.65):

Отсюда видно, что в то время как свойству фундаментальности при отвечает одно дополнительное условие, число таких условий быстро возрастает с ростом При условие фундаментальности имеет вид

а при мы имеем

Введем обозначение

(где число индексов с равно ) для слагаемого в формуле Тогда получим, что при фундаментальные спиноры выделяются двумя условиями

а при дополнительно требуется положить

В общем случае при нечетных требуемые условия имеют вид где величина симметрична по и где

При нечетных используя величины

записываем условие фундаментальности в виде соотношений

в нештрихованном случае и

в штрихованном случае. Допустимые значения удовлетворяют условиям

Из всего этого ясно, что при больших значениях структура различных спиновых пространств может быть очень сложной. Именно по этой причине, а не просто из-за экспоненциального роста размерности спинового пространства, спинорную алгебру нельзя считать реальной альтернативой тензорной алгебры, как это, очевидно, имеет место при (и при других малых размерностях). Тем не менее понятие спиноров оказывается важным при любом числе измерений (например, в теореме Атьи — Зингера об индексе [309]) и позволяет глубже понять свойства различных объектов. В принципе (а не реально) все тензорные выкладки можно представить в спинорной форме. Но структура соответствующего (редуцированного) спинового пространства при больших значениях оказывается гораздо более сложной, чем структура исходного векторного пространства. В основном эта структура определяется объектом

или двумя объектами

поскольку [в силу соотношений вида все величины (или их редуцированные части) выражаются через произведения вида

Дополнительно следует ввести -символы, поскольку величины не определяют их масштаба, а фиксируют с точностью до множителя. Величины удовлетворяют различным тождествам, которые следуют из равенств

Структура пространства или и очевидно, намного сложнее (скажем, при чем исходная структура пространства определяемая тензором (совместно с

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление