Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Спинор в подходе Людвигсена — Виккерса

Такой анализ предельного поведения спинора необходим и при доказательстве положительности интеграла в формуле (9.10.20). У разных авторов подход оказывается разным. Например, Людвигсен и Виккерс требуют, чтобы гиперповерхность была пространственноподобной не на всем пути к а состояла из двух кусков: из внутренней части которая действительно пространственноподобна и ограничена конечной пространственноподобной топологической 2-сферой Ф, и из изотропного кольцевого куска между 2-сферой Ф и срезом гиперповерхности (рис. 9.27). Это требует небольшой модификации СВ-уравнения, чтобы им можно было пользоваться, когда гиперповерхность становится изотропной. Можно взять уравнение (9.10.25) и заменить в нем вектор изотропным вектором что дает

Пользуясь модифицированным методом спиновых коэффициентов со спинором направление флагштока которого на становится касательным к это уравнение можно переписать

в виде

(При желании можно потребовать, чтобы этот спинор параллельно переносился вдоль лучей, как в § 7, что влечет за собой условие

В соответствии с уравнением (9.10.28) (1) осуществляется распространение из бесконечности вовнутрь, причем на 9 величина должна удовлетворять требуемому условию (9.10.26). По достижении границы величина принимает некоторые «гладкие» значения, если поверхность выбрана достаточно «близко» к и на изотропном куске гиперповерхности не возникает никаких сингулярностей (каустик или скрещивающихся областей). Эти значения величины на принимаются в качестве граничных условий для эллиптических СВ-уравнений на (по предположению гладком) куске гиперповерхности , ограниченном поверхностью . (Существует корректная постановка такой задачи граничных условий Далее строится (единственным образом, если имеет евклидову топологию) поле удовлетворяющее СВ-уравнению на и согласующееся с на , что дает оставшуюся компоненту на . На следующем шаге эта компонента с помощью уравнения (9.10.28) (2) распространяется обратно до вдоль изотропного куска гиперповерхности . Пользуясь асимптотической формой интересующих нас величин, нетрудно убедиться, что условие (9.10.26) (2) обязательно выполняется, какие бы значения ни принимала компонента на .

В подходах Горовица — Перри и Реулы — Тода, как и в более раннем исследовании Тода и Горовица [340], гиперповерхность считается всюду пространственноподобной и

Рис. 9.27. В доказательстве Людвигсена — Виккерса положительности массы Бонди — Сакса СВ-уравнения сначала используются (в вырожденной форме) для распространения от вдоль изотропного куска затем определяется из эллиптической формы уравнений на пространственноподобной области , наконец, распространяется обратно на

перекрывающей срез гиперповерхности Но лишь Реула и всюду используют уравнение (9.10.21). Горовиц и Перри пользуются модифицированным вариантом этого уравнения, в котором вектор уже не считается нормальным к а Горовиц и в ряде случаев вместо уравнения (9.10.21) берут уравнение Вейля для нейтринного поля Для всех указанных подходов, кроме подхода Людвигсена — Виккерса, типично одно существенное усложнение: требуется решать тот или иной вариант задачи граничных условий для СВ-уравнения, которая требует учета точного закона убывания на бесконечности. Однако останавливаться на этой проблеме мы не будем.

Положительность величины

Теперь докажем свойство (9.10.20). Положим

где

Рассмотрим сначала соотношение (9.10.30). Поскольку есть косое произведение, мы можем заменить коммутатором (с коэффициентом 1/2) [формула (4.12.14)], вследствие чего операторы дифференцирования исчезают и остаются лишь члены, связанные с кривизной. Так как легче работать с дуальными выражениями, мы введем

[формула (3.40.30)] и получим

С помощью формул (3.4.22) и (4.9.1) это выражение можно переписать в виде

если учесть соотношения (4.9.11) (2), (4.9.17), (4.6.32) и (9.10.17).

Теперь рассмотрим соотношение (9.10.31), которое можно записать в форме

где

Снова перейдем к дуальным величинам; так, согласно определению (3.3.31), можно написать

где мы воспользовались тождеством (2.5.20) и ввели обозначение

Теперь мы готовы рассмотреть вопрос о положительности интеграла (9.10.20):

Мы можем положить

где (если гиперповерхность пространственноподобна) единичный вектор нормали к гиперповерхности ее трехмерный элемент объема (в случае подхода Людвигсена — Виккерса здесь потребуется легко выполнимая модификация с учетом изотропного характера части гиперповерхности 36). В результате мы приходим к интегралу

который всегда неотрицателен, если выполняется условие энергодоминантности (см. работы [352, 125] и предложение (5.2.9) из т. 1)

Более того, поскольку трансвекция выражения с или (или, разумеется, с дает нуль, в силу формулы (9.10.23) мы имеем

Тогда из (9.10.40) следует, что на можно произвести замену которая в свою очередь приводит к следующим заменам в алгебраическом тождестве (9.10.37):

Если выполняется СВ-уравнение, то правая часть в соотношениях (9.10.44) равна нулю и, следовательно, при условии (9.10.21) мы получим

Но так как внутренний метрический тензор гиперповерхности является отрицательноопределенным, (в случае пространственноподобной гиперповерхности ), его можно представить в следующем виде:

где — действительные векторы; времениподобный же вектор можно записать в форме

В результате получаем

так как левая часть этого соотношения равна сумме отрицательных членов, которые представляют собой квадраты модулей различных компонент выражения

Очевидно, что знак равенства в соотношении (9.10.46) относится лишь к случаю, когда величина (9.10.47) равна нулю, т. е. только к случаю, когда величина ковариантно постоянна всюду на .

Тем самым мы доказали положительность интеграла (9.10.39), а значит, и требуемую неотрицательность интеграла (9.10.20). Если же разрешить величине принимать иные допустимые значения на бесконечности, то будет доказано и требуемое свойство неотрицательности, в соответствии с которым 4-импульс Бонди — Сакса является причинным вектором будущего. (Исходя из того, что величина постоянна, когда выполняется соотношение (9.10.46) со знаком равенства, нетрудно доказать и «обратное» свойство, а именно что и даже что вектор изотропен только в том случае, если кривизна всюду на равна нулю

Подчеркнем, что мы доказали положительность полной энергии, хотя, как отмечалось ранее, гравитационная потенциальная энергия отрицательна. Отсюда следует, что последняя никогда не может превысить (по модулю) породившую ее положительную массу-энергию. В подходе Виттена присутствует

положительная полная гравитационная энергия, определяемая интегралом (9.10.45) от Но это, очевидно, нелокальная величина, ибо она зависит от выбора решения уравнения (9.10.21), а это решение соответствует заданным граничным условиям. Интересно, что точное выражение для этой величины требует, по-видимому, спинорной формы записи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление