Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Группа Бонди — Метцнера — Сакса

От группы можно естественным образом отсечь значительно меньшую подгруппу, если учесть, что, согласно определениям (9.8.1) и (9.8.2), параметры Бонди и внутренняя конформная метрика (9.8.8) определяются конформной структурой пространства Согласно формуле (9.8.6), сохранение параметров Бонди требует, чтобы функция в формуле (9.8.9) имела вид

где и считается параметром Бонди на каждой образующей гиперповерхности и предполагается, что эти образующие бесконечно длинны. Этим сужается свобода выбора от функции трех действительных переменных до двух функций двух действительных переменных.

«Улучшать» вид функции можно и дальше, если, например, исключить всякую свободу выбора функции в (9.8.10), т. е. записать ее в явном виде. Для этого необходимо ввести дополнительную структуру на гиперповерхности которую мы будем называть сильной конформной геометрией на [234, 249]. (Такое название не совсем правильно, ибо рассматриваемая структура включает в себя не только конформную геометрию пространства но и некоторые элементы, определяемые его метрикой; однако в этом названии есть и полезная эвристич-ность, что проявится несколько позднее.) Группа движений гиперповерхности в себя, сохраняющая эту сильную конформную геометрию, называется группой Бонди — Метцнера — Сакса (БМС) (или ограниченной группой БМС — но мы опять предпочитаем отказаться от преобразований отражения как части нашего определения; см. [299]). Как мы сейчас увидим, сохранение сильной конформной геометрии приводит к ограничению функции выражением

где и те же, что и в первом равенстве (9.8.9).

Возможны разные способы описания этой дополнительной структуры на граничной гиперповерхности Пожалуй, самый прямой — это указать, что изотропный касательный (и нормальный) к вектор , который определяется наперед заданным

конформным множителем [удовлетворяющим условиям определения (9.6.11)] с помощью выражения

[формула (9.6.16)], преобразуется при еще одном конформном изменении масштаба

следующим образом:

Предполагается, что конформный множитель 0 является гладким на и нигде на не обращается в нуль; он выражает свободу выбора конформного множителя Поскольку метрика связана с физической метрикой соотношением конформное изменение масштаба (9.8.13) сопровождается заменой

в силу чего преобразование (9.8.14) сразу же следует из формулы (9.8.12) (так как член, содержащий производную конформного множителя 0, на обращается в нуль). Линейный элемент [положительно полуопределенный и вырожденный; см. формулу (9.8.8)] на претерпевает преобразование

вследствие чего произведение

оказывается инвариантным относительно преобразования

Таким образом, выражение (9.8.17) дает нам инвариантную структуру, которую можно использовать для определения сильной конформной геометрии на

Смысл соотношения (9.8.18) заключается в следующем: хотя не определен какой-либо естественный выбор масштаба параметра на образующих гиперповерхности и не определена какая-либо естественная метрика на ее сечениях, сильной конформной геометрией определяется отношение масштаба к метрике. Взяв любой допустимый конформный множитель можно с помощью вектора [формула (9.8.12)] зафиксировать условием

определенный масштаб параметра и на образующих гиперповерхности . Тогда мы при преобразовании (9.8.15) [компенсирующем преобразование (9.8.14)] получим

Сравнение этого преобразования с преобразованием (9.8.16) показывает, что отношение

не зависит от выбора множителя

На основе такого рода инвариантности можно дать определение изотропного угла между двумя касательными направлениями в точке Р гиперповерхности когда натянутая на них плоскость содержит изотропное касательное в точке Р направление (ни одно из этих двух заданных направлений само не является изотропным). Угол в обычном смысле этого слова, если его определять с помощью (конформной) метрики (9.8.8), во всех таких случаях будет равен нулю, а значит, без введения на дополнительной структуры невозможно сказать, какой из изотропных углов в двух разных точках гиперповерхности больше или меньше, ибо такое сравнение лишено смысла. При наличии же сильной конформной геометрии и инвариантного отношения (9.8.21) можно дать следующее определение численного значения изотропного угла между двумя касательными направлениями в точке гиперповерхности

где — (бесконечно малые) приращения, указанные на рис. 9.21. И обратно: индуцированная на гиперповерхности конформная метрика (9.8.8), дополненная определением изотропного угла, дает сильную конформную геометрию на

Угол имеет совершенно четкий смысл в рамках геометрии пространства который мы вскоре выясним. Сейчас же мы хотим связать определение параметра Бонди с только что рассмотренными определениями. Сначала вспомним определение (9.6.27) величины А на гиперповерхности

[формула (9.6.22)]. Мы, разумеется, вольны выбрать такой масштаб вектора изотропной тетрады при котором Однако здесь мы этого делать не будем, поскольку хотим воспользоваться преимуществами, которые дает формализм спиновых коэффициентов, а указанный выбор масштаба (или преждевременность такого выбора) может привести к трудностям (неоднозначностям) при определении операторов производных. Из

Рис. 9.21. Изотропный угол на есть угол между двумя направлениями на на которые натянута плоскость, содержащая изотропное нормальное к направление. При изменении конформного множителя для изотропные углы не изменяются.

того, что вектор имеет тип следует, что А — действительный -скаляр на (Здесь , а спинор необходимый для полной спиновой системы отсчета, мы выбираем произвольно.)

Теперь вспомним асимптотическое эйнштейновское условие

В случае диадных компонент слабого равенства (9.8.24), относящихся только к производным, касательным к гиперповерхности вместо можно подставить [формула (9.6.23)]. Тогда эти компоненты получаются в результате последовательной трансвекции обеих частей равенства (9.8.24) с Первая трансвекция дает слабые равенства

которые уже были получены ранее [формула (9.6.28)], тогда как вторая [при использовании, скажем, формул (4.12.27) или

Отметим, что вследствие этого оказывается действительной величиной:

но это мы и так уже знаем, ибо изотропная гиперповерхность. Пусть в соответствии с формулой (9.8.14) имеет конформный вес, равный 1. Тогда (9.8.26) можно записать в следующем конформно-инвариантном виде:

[формула (5.6.33); выбор величин несуществен}.

Отметим также, что если специализировать таким образом, чтобы выполнялась и производная в направлении от уравнения (т. е. таким образом, чтобы всякая гиперповерхность «вблизи» тоже была изотропной), то из оставшихся компонент условия (9.8.24) будут следовать слабые равенства

Этого всегда можно добиться, однако особых преимуществ мы не получим. Все условия (9.8.29) целиком нас в общем случае интересовать не будут, но, как мы скоро увидим, нам потребуется условие

Укажем, что условие (9.8.19), связывающее частный выбор масштаба параметра и на образующей гиперповерхности с конкретным конформным масштабом на можно записать в виде

(или, что то же, так как и — величина типа

Задав конкретный параметр и условием (9.8.30), мы должны осторожно пользоваться операторами которые нельзя применять к параметрам и, не имеющим определенного конформного, веса. Однако стандартный компактный формализм все же остается однозначным. Заметим, что, согласно формуле (9.8.26), мы имеем так что, подействовав оператором на обе части равенства (9.8.30), мы получим слабое равенство Сравнение этого результата с формулой в определении (9.8.2) приводит к следующему предложению.

Предложение

Условие (9.8.19) [т. е. (9.8.30)] совместно с требованием, чтобы величина ”и” была параметром Бонди на всякой образующей гиперповерхности в том и только в том случае, если на т. е. если образующие изометрически отображают сечения гиперповерхности друг на друга.

[То обстоятельство, что слабые равенства являются условием изометричности отображения этих сечений, уже отмечалось ранее; см. текст после формулы (9.6.31) и гл. 7, § 1, рис. 7.2.]

Гладкая действительная функция и на являющаяся параметром Бонди на всякой образующей, называется (запаздывающей) координатой времени Бонди на если она удовлетворяет не только условию (9.8.30) [или (9.8.19)], так что образующие гиперповерхности изометрически отображают ее сечения друг на друга, но и требованию, чтобы метрика этих сечений была фактически такой же, как и у единичной 2-сферы. [Выбором параметра и, очевидно, фиксируется метрика на в силу инвариантности отношения дающего величину изотропного угла. Канонический выбор «единицы» измерения этого изотропного угла дает каноническую пропорциональность между масштабом параметра и на образующих и метрикой сечения.] Как подразумевалось в гл. 1, § 2 (см. также гл. 4, § 15), в выборе такого рода конформных масштабов присутствует трех (действительно) параметрическая свобода, соответствующая различным выборам «асимптотической оси времени» (в качестве иллюстрации к этому см. т. 1, рис. 1.11, с. 59). Связь между соответствующими допустимыми координатами определяется первым соотношением (9.8.9), дающим ограниченные преобразования Лоренца на (анти-) небесной сфере. Конформный множитель, связывающий два таких масштаба, определяется отношением Г-координаты изотропного вектора, построенного из спинора к Г-координате изотропного вектора, построенного из спинора полученного в результате преобразования спинора с помощью спин-матрицы первого преобразования (9.8.9). Это отношение имеет вид

Таким образом, для сохранения структуры (9.8.21), как того требует преобразование БМС, функция в (9.8.10) обязательно должна иметь вид (9.8.11), о чем уже упоминалось. При учете этого ограничения на форму функции в (9.8.10) общий вид преобразований группы БСМ должен определяться формулами (9.8.9).

Укажем условия, при которых метрика на принимает вид (9.8.8):

Второе слабое равенство следует из предложения (4.14.21) при учете соотношения (9.8.25), равенства единице гауссовой кривизны единичной сферы и слабого равенства следующего из сильного асимптотического эйнштейновского условия. Отметим, однако, что условия (9.8.33) приведены лишь для удобства: сама группа БМС, как она определена здесь, от существования этих условий не зависит.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление