Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Сравнение спиновых систем отсчета

Из (9.7.10) и (9.7.8) следует соотношение

Выберем коэффициент так, чтобы выполнялись условия в точке Р, поскольку в этом случае две спиновые системы отсчета будут согласованы том смысле, что и . Вследствие этого коэффициент в (9.7.11) в точке Р должен быть равен нулю, иначе интегрирование уравнения (9.7.11) давало бы величину ведущую себя в точке Р как не равное нулю кратное множителя . Согласно формуле (9.7.12), это означает, что спинор должен быть линейной комбинацией спиноров , т. е.

где коэффициент А определяется как в формуле (9.7.15) [и (9.6.27)], а второй коэффициент определяется формулой

Рис. 9.20. Когда гиперповерхность изотропна, направление вектора в точке на не зависит от выбора луча у, но это перестает быть верным, если гиперповерхность пространственноподобна (или времениподобна) — плоскость, натянутая на изотропные векторы должна быть такой, чтобы она содержала нормаль Это означает, что определение поля излучения (член, изменяющийся как в случае пространствениопо-добной (или времениподобной) гиперповерхности менее инвариантно, нежели в случае изотропной.

(9.6.25). Когда граница изотропна, это означает, что вектор считается направленным вдоль изотропного направления будущего на Если же граница не изотропна (и во времени-подобном случае не касается луча 7), то изотропный вектор будущего на можно выбрать так, чтобы он лежал во времениподобной 2-плоскости, натянутой на векторы но, разумеется так, чтобы он отличался от (рис. 9.20).

При таком подходе и на первый взгляд кажется, что интегрирование уравнения (9.7.11) должно давать величину ведущую себя в точке Р как . При таком поведении мы получили бы требуемое в формуле (9.7.23) условие но оно портит форму степенного ряда для членов высших порядков в формуле разложения компонент (9.7.4). Однако на самом деле оказывается, что коэффициент стремится в точке Р к нулю как величина, квадратичная по конформному множителю, и в результате логарифм исключается. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим разность двух частей слабого равенства (9.7.24). Согласно лемме (9.6.38), существует определенный вдоль луча у ковектор (класса гладкости такой, что

Если применить к этому равенству операцию ковариантного дифференцирования (с оператором а полученный результат свернуть со спинором то, воспользовавшись еще раз первым асимптотическим эйнштейновским условием (9.6.21) и формулой (9.7.15), мы получим

откуда в соответствии с формулой (9.6.38) следует равенство

где — непрерывный (класса на луче у скаляр. Подставив (9.7.27) и (9.7.25) в (9.7.12) мы, как и утверждалось, получим

Тогда из (9.7.11) следует регулярное (класса в точке Р выражение

Теперь на основании формул (9.7.23) и (9.7.22) можно написать разложение вида

причем коэффициенты постоянны вдоль луча 7. В то же время из (9.7.8) следует равенство

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление