Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Обращение в нуль тензора Вейля на границе J

Еще одно важное свойство границы 3 можно сформулировать в виде следующей теоремы (справедливой при

Теорема

Доказательство: Прежде всего вспомним, что вакуумные тождества Бианки в спинорной форме имеют вид [формула (4.10.9)]. Из формул (6.8.4) и (6.8.8) следует, что т. е. [формула (7.3.42)]

что в силу непрерывности имеет место и на границе 3. Следовательно,

Если то «матрица» не сингулярная [формула (9.6.25)] и может быть инвертирована (вообще говоря, откуда. следует, что и мы приходим к искомому результату.

Случай сложнее и частично связан с глобальным результатом, требующим существования топологии (9.6.19). Слабое равенство (9.6.34) с учетом сообщения (9.6.27) дает

т. е.

при некотором Дифференцируя еще раз (9.6.33) и используя (9.6.24), получаем

Опустив индекс А, просимметризовав по индексам и воспользовавшись уравнением, комплексно-сопряженным первому уравнению (9.6.26), мы после применения тождества для спиноров [формула (2.5.20)] получим

откуда в силу выражения (9.6.27) и предложения (3.5.15) следует, что

Таким образом, на любом сферическом сечении границы (с ортогональным ему флагштоком спинора имеет место уравнение вида где величина будучи определенной соотношением (9.6.36), имеет спиновый вес, равный 2. Но тогда из предложения (4.15.59) следует, что на сфере, следствием чего оказывается слабое равенство (9.6.36) с равной нулю правой частью, т. е. спинор на границе 9 равен нулю, чем и завершается доказательство теоремы.

Условие вместе с соотношением (9.6.26) мы будем называть сильным асимптотическим эйнштейновским условием — вне зависимости от того, выполняются ли вакуумные уравнения вблизи границы

Равенство нулю вейлевой кривизны на границе 3 приводит к важному следствию, которое вытекает из формулируемого ниже общего результата.

Лемма

Пусть есть (слабо) -асимптотически простое пространство, окрестность границы в пространстве Предположим, что (причем ) удовлетворяет слабому равенству .

Тогда существует такое, что

Здесь есть символ модуля спинорных полей с индексами типа и класса гладкости обозначение полей, ограниченных на множестве Согласно этой лемме, всюду, где гладкое поле удовлетворяет слабому равенству мы вправе определить поле Справедливость леммы следует непосредственно из хорошо известного положения анализа: если -функция класса определенная на некотором открытом подмножестве пространства обращающаяся в нуль при то выражение определяет функцию класса на где или Чтобы применить этот результат к спинорному полю достаточно выбрать координаты в и базис класса а затем применить это положение анализа по отдельности каждой компоненте. Это можно сделать при условии, что [формула (9.6.11)].

В гл. 6, § 8 конформное поведение спинора Вейля противопоставлялось поведению безмассового поля флвсо со спином, равным 2 [формулы (6.8.4) и (6.8.6)]. Поскольку вакуумные тождества Бианки — это просто уравнения для безмассового поля со спином, равным 2, мы вправе ввести специальное безмассовое поле со спином 2

Но при конформном изменении масштаба желательно было бы положить

так как тогда сохранялись бы уравнения безмассового поля для флвсв. Из теоремы (9.6.32) и леммы (9.6.38) следует важный вывод.

Теорема

Поле продолжило до поля, непрерывного на границе 9. (9.6.41)

Заметим, что, согласно формуле (9.6.40), поле на 9 можно получить с помощью производной вейлевой кривизны на

Поле можно рассматривать как гравитационное поле со спином, равным 2. Различные компоненты поля на границе имеют очень важное значение в теории гравитационного излучения. Относительно физической метрики пространства их можно интерпретировать как последовательное

вырождение Сакса (Sachs peelig property) [297, 298, 234, 237, 217]. Представляет интерес рассмотреть это свойство несколько шире, чем это требуется в случае гравитационного поля, чем мы сейчас и займемся.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление