Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Теорема Гржина

Введенные выше термины, содержащие фамилию Гржина, связаны со следующим замечательным результатом.

Теорема Гржина [115]

Любое несингулярное решение уравнения (4.12.42) для безмассового свободного поля на эйнштейновском цилиндре 8, который в результате стандартной процедуры отождествления становится пространством соответствует определению (9.4.11).

Прежде чем доказывать эту теорему, отметим, что в случае безмассовых полей со спином имеющего нештрихованные индексы, выполняются равенства так что индекс Гржина равен тогда как для таких же полей со штрихованными индексами индекс Гржина равен Напомним (гл. 5, § 7), что для положительно-частотных

полей спиральность в первом случае равна а во втором Следовательно, индекс Гржина равен Чтобы устранить возникающий теперь в определении (9.4.11) множитель нам потребовалось бы двукратное покрытие пространства М в случае безмассовых полей с четным спином (т. е. в случае конформноинвариантного безмассового скалярного поля Даламбера) и четырехкратное в случае полей с полуцелым и нечетным спином. Однако в случае полей с нечетным целым спином (например, максвелловского поля) достаточно пространства .

Для доказательства теоремы Гржина воспользуемся доказанной ранее леммой, позволяющей свести случай произвольного спина к случаю нулевого. Предположим, что в конформно-плоском пространстве-времени есть главная спинорная часть симметричного -твистора, так что выполняется условие (6.4.1), и допустим, что симметричный -индексный удовлетворяет уравнению для безмассового поля (4.12.42). Тогда, согласно формуле (6.4.31) (и последующим выводам), поле

удовлетворяет конформно-инвариантному уравнению с формулой (6.8.30)]

Возьмем именно такой спииор . В любой точке спиноры, удовлетворяющие условию (6.4.1), стягивают пространство поскольку (симметричный) твистор в любой одной точке обладает произвольной (симметричной) главной спинорной частью. Пусть Р — это точка, в которой впервые снова сходится световой конус будущего, построенный в т. е. это первая точка будущего по отношению к точке которая отождествляется с в результате процедуры отождествления, проводимой для получения пространства М.

Из предложения (9.4.12) следует, что спинор является гржиновским полем. Поэтому благодаря мультипликативному свойству такого спинора (9.4.13) и свойству спиноров X стягивать в каждой точке указанное выше пространство достаточно показать, что скаляр тоже является гржиновским полем. (Доказательство этой теоремы для штрихованного безмассового поля можно будет провести путем комплексного сопряжения.) Чтобы скаляр был гржиновским полем, для каждой выбранной точки должно выполняться равенство

Рис. 9.13. Явление Гржииа в случае безмассовых скалярных полей на эйнштейновском цилиндре [объяснение на основе интегральной формулы Кирхгофа—Дадемара (5.12.6)]. Лучи, проходящие через точку впервые снова сходятся в точке Р. Различие в знаках поля в точках Р и обусловлено различием в знаке сходимости изотропной гиперповерхности между точками Р и при приближении к той или другой из них.

Показать, что оно выполняется, можно, например, исходя из того, что всякое решение волнового уравнения в пространстве М строится из «элементарных» решений, которые в стандартных координатах, взятых относительно множества различных начал отсчета, имеют форму

Коэффициент при -функции имеет на световых конусах будущего и прошлого противоположные знаки и, очевидно, является гржиновским полем, что и доказывает теорему. Эту теорему можно доказать также, основываясь на формуле Кирхгофа — Дадемара (5.12.6), позволяющей представить в виде интеграла по пересечению светового конуса прошлого, построенного в точке Р с некоторой изотропной гиперповерхностью При выводе этой формулы мы исследовали предельную ситуацию, когда пересечение приближалось к точке Р из прошлого (интеграл не зависит от рассматриваемого пересечения гиперповерхностей). Если же теперь сравнить этот предел с соответствующим выражением, полученным при приближении пересечения гиперповерхностей к точке по световому конусу прошлого с вершиной в Р из будущего (рис. 9.13), то мы обнаружим, что, поскольку в выражении положено равным нулю) вблизи точек Р и доминирует член оба предела различаются лишь знаком сходимости пересекаемой изотропной гиперповерхности и что в первом случае в него входит значение а во втором - . Таким образом, снова, как и требовалось,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление