Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Кратные точки кривой w

Интересующая нас кривая конечно, определяется не неоднородным уравнением, подобным уравнению, получающемуся в результате приравнивания нулю выражения (8.7.14), а уравнением, которое получается в результате приравнивания нулю дважды однородной функции (8.7.7). Поэтому точка X комплексификации задаваемая радиус-вектором будет принадлежать кривой только при условии

В этом случае направление касательной в рассматриваемой точке определяется отношением

Смысл этих выражений, записанных в обозначениях с абстрактными индексами, становится понятным, если принять во внимание определение (8.7.7):

Отношение же величин, записанных в обозначениях с абстрактными индексами, — это просто класс эквивалентности пар относительно соотношения

Согласно теореме Эйлера об однородных функциях, получим

При из этих соотношений в силу предложения (2.5.56) следуют равенства

где — некоторые функции. Таким образом, вся информация, которая остается от (8.7.24), это отношение

Следовательно, им и определяется наклон кривой в точке X. Заметим, что оператор

«сводит к нулю» спинор в точке X только в том случае, если

а значит, он соответствует дифференцированию в направлении, задаваемом отношением а

В качестве первого приложения изложенного найдем условие соприкасания кривой в точке X с 2-образующей, определяемой фиксированным спинором (т. е. условие существования двух совпадающих пересечений кривой в точке X). В соответствии с (8.7.16) это условие имеет вид в точке X. (8.7.28)

Оно же есть условие того, что спинор является двукратным главным спинором канонического разложения выражения (8.7.12). Точно так же Е-образующая, определяемая фиксированным спинором касается кривой в точке X при условии [аналогичном условию (8.7.17)]

Точка X будет двукратной (или более специальной) точкой кривой только при одновременном выполнении этих двух условий:

Заметим, что в силу тождеств (8.7.25) условие при котором точка X лежит на кривой следует из любого равенства (8.7.30).

Как и в формуле (8.7.25), на основании теоремы Эйлера имеем равенство

Следовательно, условие существования двукратной точки таково:

Но в силу симметрии производной должна иметь место пропорциональность между и и мы приходим к первому из нижеследующих соотношений, тогда как остальные получаются в результате аналогичных рассуждений:

причем — некоторые функции. Отношениями определяется наклон двух ветвей кривой в точке X. Направление, определяемое условием а [как и в формуле соответствует наклону одной из ветвей, если

ибо это условие есть уравнение с оператором отвечающим формуле (8.7.27). Наклон обеих ветвей одинаков, если уравнение (8.7.32) имеет кратные корни, т. е. если

а это в свою очередь является условием того, что X — точка возврата или более специальная точка с формулой (8.7.19)].

В силу уравнения (8.7.32) направление, задаваемое отношением а будет отвечать указанному двойному наклону, если [как в формуле (8.7.20)]

Поэтому [как и в случае (8.7.21)] точка возврата X выродится в точку соприкосновения (или точку более специального типа) при условии

которое приводит к соотношению, сходному с (8.7.22). [Величины в формуле (8.7.35) считаются фиксированными числами, удовлетворяющими уравнениям (8.7.34), а значит, не подлежащими дифференцированию.

Чтобы существовала (как минимум) трехкратная точка, наряду с условием (8.7.30) должно [при определениях (8.7.31)] выполняться условие

Отметим, что все сказанное выше о кратных точках относится и к кривым на являющимся просто голоморфными и не обязательно алгебраическими.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление