Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Система полей Эйнштейна — Максвелла

Итак, рассмотрим объединенную систему спиноров

каждый из которых симметричен. В дополнение к должно быть, по-видимому, еще три комплексных инварианта, поскольку спинором фиксируется (с точностью до дискретных симметрий) такой репер Минковского, что выраженные через него три комплексные компоненты спинора оказываются инвариантами. И в самом деле, в качестве возможного набора инвариантов мы вправе взять

С помощью теории матриц несложно доказать, что эти инварианты независимы. (Коэффициенты в разложении по собственным спинорам спинора остаются произвольными, так что и М можно рассматривать как независимые линейные функции квадратов этих коэффициентов.) Нетрудно убедиться, что выражения вида

представимы в виде полиномиальных функций переменных и М. Однако пять перечисленных скаляров вовсе не образуют полного набора в том смысле, в каком это понимается в классической теории инвариантов. Так, величина

очевидно, не представима в указанной форме, ибо она нечетна по тогда как скаляры четны. Но величина все же зависит от в силу сизигии [232, 114]

Так что полным набором инвариантов для и можно считать только всю совокупность инвариантов

Ранее (в конце § 5) мы выяснили, что условием совпадения двух электромагнитных ГИН (ЭГИН) является равенство Условием же совпадения ЭГИН и ГГИН является обращение в нуль результанта соответствующих форм четвертого и второго порядка:

Пользуясь инвариантами, это условие можно представить в виде [232]

Следовательно, чтобы оба ЭГИН лежали вдоль должно выполняться условие

Если выполняются уравнения Эйнштейна — Максвелла (скажем, с то, как следует из уравнений (5.2.6),

и можно утверждать, что 4 действительные величины и три комплексные величины представимы в виде инвариантов спиноров

Существуют очевидные тождества, связывающие эти величины [например, и показывающие, что некоторые из них излишни. Фактически может быть только девять независимых действительных инвариантов спиноров (8.6.24), ибо один действительный инвариант из десяти, построенных из действительных и мнимых частей независимых инвариантов спиноров и утрачивается из-за существования такой степени свободы, как дуальный поворот (фаза действительна).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление