Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Спиноры: Роль аналитичности

Скажем несколько слов об условии аналитичности на гиперповерхности . Это условие потребовалось, чтобы определить «комплексно-утолщенные» пространства и необходимые для построения Однако в исходном геометрическом определении операции на (36) такие понятия не фигурируют. Поэтому КД-структура (возможно, нереализуемая) пространства может быть определена непосредственно при наличии необходимых условий интегрируемости. То, что эти условия фактически выпдлняются, можно доказать без дополнительных вычислений, показав, что в аналитическом случае наше геометрическое определение операции согласуется с тем, которое получается в рамках конструкции твисторов гиперповерхности. (Это довольно легко сделать, рассматривая локальное твисторное описание в точке Р.) Условия интегрируемости в этом случае будут просто системой дифференциальных соотношений,

которые в силу аналитичности удовлетворяются автоматически. Поскольку в неаналитическом случае уравнения те же, что и в аналитическом, они будут выполняться в первом случае, если выполняются во втором.

Это показывает, что будет КД-многообразием независимо от того, выполняются ли условия аналитичности на гиперповерхности . Но, как отмечалось выше, эти «условия интегрируемости» для КД-многообразия недостаточны для того, чтобы оно было реализуемым как действительная гиперповерхность в комплексном многообразии, и без условия аналитичности пространства вообще говоря, не существуют. В этом случае в пространстве может не существовать КД-функций, а значит, может оказаться [187], что на гиперповерхности не существует бессдвиговых конгруэнций!

Даже в случае, когда удовлетворяет условиям аналитичности, а также в случае (конформно-) плоского пространства-времени, когда выбор гиперповерхности не имеет значения, условие аналитичности существенно в отношении свойств самой конгруэнции. Хотя в различных формулировках теоремы Керра нам всегда приходилось принимать, что конгруэнция аналитична, мы отмечали [см. замечание перед теоремой (7.4.8)], что в М существуют и неаналитические БСК. В примере, упомянутом выше (система лучей, пересекающаяся с неаналитической кривой), вращение отсутствует, и небезынтересно заметить, что при наличии вращения всегда (локально) существует «односторонняя» функция Керра в том смысле, как это показано на рис. 7.8. Направлением вращения определяется, в какую сторону пространства (или локально продолжима поверхность

Рис. 7.8. Неаналитические с вращением в пространстве М изображаются в в виде 3-поверхностей, которые (локально) являются границами комплексных многообразий в лишь по одну сторону от (какая именно сторона, это зависит от направления вращения) и которые не могут быть продолжены как комплексные многообразия в по другую сторону от

Керра, а именно в случае правостороннего вращения и в случае левостороннего (то же относится к п-ространствам или определенным соответствующим образом). Эти результаты являются следствием некоторых свойств КД-структуры при дополнительных условиях голоморфной «выпуклости» [186, 139]. Оказывается, что такие свойства выпуклости определяются вращением конгруэнции.

Сказанное относится также к теореме Робинсона (7.3.14). В лемме (7.3.15) мы по существу строим КД-функции на действительно-трехмерном КД-подмногообразии, скажем пространства (как ограничения голоморфных функций на поверхность Керра). Однако без предположений об аналитичности процедура Робинсона приводит к дифференциальному уравнению, рассматривавшемуся Леви [187], которое, вообще говоря, не имеет решений [331]. Полное изложение всех этих вопросов увело бы нас слишком далеко от нашей цели.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление