Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Ортогональность гармоник

Скалярное произведение (4.15.67) тоже играет важную роль, когда нас интересуют только вращения, но не конформные свойства поверхности . В этом случае значения «конформных» весов и не существенны и мы можем вернуться к нашей первоначальной точке зрения, считая, что функции определены в точках поверхности (а не на сечении по отношению к

локальной спиновой системе отсчета . Полный бустовый вес подынтегрального выражения должен быть равен нулю, а спиновые веса функций должны быть одинаковы. Считая, что есть величина типа , а мы определяем

Выражения (4.15.70) и (4.15.67) согласуются друг с другом и оба являются частными случаями скалярного произведения

где таковы, что произведение есть величина типа [формула (4.15.3)].

Как нетрудно убедиться, скалярное произведение (4.15.71) (при тех значениях весов, при которых оно определено) обладает следующими стандартными свойствами:

Кроме того, мы имеем следующее:

Предложение

Если и — спиновые сферические гармоники, имеющие одинаковые спиновые веса и разные значения

Доказательство. Это по существу обычное свойство собственных функций операторов. Если мы обозначим через и соответственно значения функций и то, используя формулы (4.15.54) и (4.15.55) дважды, а также (4.15.77) и (4.15.78), получим

откуда если

Теперь мы явно вычислим для пары спиновых сферических гармоник, отвечающих одному и тому же значению когда и — спиновые гармоники типа соответственно. Можно написать

при где для симметрии введена величина

[Отметим, что значение соответствует выбору стандартной нормировки, в которой ]. Выполняя комплексное сопряжение в (4.15.81), используя (4.15.44) и выражение, комплексно-сопряженное выражению (4.15.7), получаем

где

С учетом этих соотношений имеем

Поскольку постоянны, их можно вынести за знак интеграла, который затем вычисляется с помощью следующей леммы:

Лемма

Интеграл вычисляется явно с помощью формул (4.15.96) и (4.15.123), приведенных ниже. Лемму можно доказать, не вычисляя интеграл. Для этого заметим, что левая часть равенства (4.15.86) инвариантна относительно вращений сферы а потому инвариантна и правая часть. Следовательно, она должна быть сконструирована из величин с помощью спинорных операций и численных констант. Исключение штрихованных

индексов в с помощью соотношения

( — единичный времениподобный вектор) приводит к тому, что выпадает, а оставшееся слагаемое пропорционально правой части равенства (4.15.86). Наконец, численная константа получается после вычисления следа в левой и правой части с учетом того, что

а след равен рангу матрицы (т. е. размерности пространства равной ). Это следует из условия идемпотентности

и того, что след идемпотентной матрицы равен ее рангу. Подстановка (4.15.86) в (4.15.85) дает

Выписывая симметризацию явно и замечая, что симметрии величин приводят.к тому, что мы, наконец, получаем искомую формулу для скалярного произведения:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление