Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12. Модифицированный формализм спиновых коэффициентов

В § 5 и 11 мы ввели формализм спиновых коэффициентов. Так же как любой формализм, использующий переход к компонентам тензорных величин, он имеет то преимущество, что оперирует только со скалярами. Это удобно при численных расчетах, а также том случае, когда нас интересует явный вид компонент тензора как функций координат. Однако спиновые коэффициенты Дают дополнительное преимущество, будучи комплексными величинами. Каждый спиновый коэффициент несет ту же информацию, что и два действительных числа, с чем

связана существенная экономия в обозначениях. Требуется только двенадцать таких величин, а не 24 эквивалентных действительных функции, которые возникают в формализме ортонормированных тетрад, или 40 независимых символов Кристоффеля в случае обычного координатного подхода. Разумеется, формализм, оперирующий с компонентами, наиболее эффективен в том случае, когда удается ввести базис, естественным образом связанный с физикой или геометрией задачи. Если имеется временилодобное векторное поле (например, касательное поле к линиям тока жидкости), то удобно выбрать его в качестве одного из базисных векторов тетрады. Если же в задаче имеется изотропный вектор (при изучении распространения волн), то в качестве одного из векторов тетрады удобно взять этот вектор. Далее, его можно рассматривать как флагшток одного из спиноров диады в формализме спиновых коэффициентов.

Однако во всех указанных случаях остается большой произвол в выборе системы отсчета. С этим связано то, что многие величины, участвующие в расчетах, не имеют прямого геометрического или физического смысла. По своей природе они являются «калибровочными величинами» и преобразуются по определенному закону при переходе к новому базису в рамках произвола, допускаемого задачей. Как правило, присутствие большого числа таких «калибровочных величии» сильно обесценивает формализм — особенно если закон преобразования этих величин достаточно сложен. Одно из больших преимуществ ковариантиого подхода в том, что мы обходим проблему калибровочного произвола, а возникающие формулы допускают прозрачную геометрическую или физическую интерпретацию. В таких задачах, которые требуют явного вычисления функций координат, ковариантный подход не всегда удобен. В то же время полная фиксация базиса тоже может оказаться нежелательной. Иногда удается найти компромиссное решение — частично ковариаитный формализм.

В случае спиновых коэффициентов имеются два типа калибровочного произвола. Во-первых, может встретиться задача, в которой выделено одно изотропное направление. В частности, это бывает при изучении геометрии в терминах изотропных поверхностей (или волновых фронтов). Диадный спинор можно выбрать вдоль этого направления, а второй спинор диады остается произвольным. В этом случае существует частично ковариантный формализм [142]. Однако сформулировать его так, чтобы он был пригоден в общем случае, удается лишь

ценой больших усложнений. Мы не станем рассматривать его здесь, но некоторые величины, возникающие в рамках такого подхода, мы будем использовать ниже [гл. 7, § 1; формула (5.12.12)]. Второй тип калибровочного произвола в рамках спиновых коэффициентов встречается, когда фиксированы два изотропных направления, но плоскости флагов или протяженности флагштоков соответствующих спиноров диады не фиксированы. Такая ситуация возникает, например, при изучении геометрии пространственноподобной двумерной поверхности (§ 14). Существуют два изотропных направления, ортогональных поверхности в каждой ее точке. Удобно выбрать флагштоки в этих направлениях. Конечно, имеется много других задач, в которых выделены два изотропных направления в каждой точке. Модифицированный метод спиновых коэффициентов, который мы рассмотрим в данной главе, идеально подходит для решения таких задач [78] (см. также [70, 85—87, 171, 172]). Более того, он настолько близок к стандартному формализму спиновых коэффициентов, что при желании может использоваться вместо него, а полученные формулы могут рассматриваться как сокращенная запись формул для обычных спиновых коэффициентов. Мы увидим, что по большей части модифицированные выражения замечательно упрощаются по сравнению с их аналогами в стандартном формализме и в то же время достаточно близки к ним, чтобы без труда выполнялся обратный переход. Поэтому там, где это удобно, мы не выписываем формулы для спиновых коэффициентов, а приводим их модифицированные выражения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление