Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Связь между символами Инфельоа — ван дер Вердена и символами Кристоффеля

Иногда возникает необходимость записать величины, содержащие оператор в произвольном тензорном базисе (В частном случае координатного базиса мы имеем при действии на скаляры.) Для этого мы просто преобразуем

в используя символы Инфельда - ван дер Вердена [формула (3.1.37)];

Введем величины

тогда из (4.5.1) получаем

для компонент величины где а относится к тензорному базису, а В к диаде. Аналогично из (4.5.12) получаем

для соответствующих компонент величины

В общем случае для компонент относительно тензорного базиса и диады мы имеем из (4.5.15)

Для величины, содержащей и спинорные и тензорные индексы, например иногда требуется получить компоненты ковариантной производной в которых а и с относятся к тензорному базису, а В к диаде. В этом случае мы имеем [с учетом: выражения (4.2.60)]

в чем нетрудно убедиться, вычислив компоненты разложения; производной

Заметим, что выражение (4.5.35) можно получить, рассматривая как и используя (4.5.34), а затем возвращаясь к тензорным компонентам с помощью символов Инфельда — ван дер Вердена (3.1.37). В этом случае вместо одного слагаемого, пропорционального Г, мы получили бы два слагаемых, пропорциональных у и Производная при этом будет записываться в виде что отличается от слагаемым, содержащим производные от Следовательно, должно существовать соотношение, связывающее у, Г и производные от

Это соотношение получается следующим образом:

Упрощая правую часть, получаем

Свертка по А и В дает с учетом формулы (4.5.10) требуемое соотношение:

В (обычном) случае нормированного спинорного базиса слагаемое, пропорциональное равно нулю. До конца данного параграфа мы предполагаем это условие выполненным. Если дополнительно предположим, что тензоры отнесены к координатному базису, то на основании формул (4.2.70) и (4.3.48) мы получим

т. e. Г оказываются обычными символами Кристоффеля и

(так как при в выражениях, стоящих за оператором диадные индексы можно поднимать и опускать, см. формулу (4.5.11).]. Теперь мы можем выразить спиновые коэффициенты через символы Инфельда — ван дер Вердена и их производные но координатам. Подставляя (4.5.40) в (4.5.39), получаем в явном виде

Переходя от индексов к сворачивая по А, В и подставляя результат в (4.5.38), где индекс В опущен, получаем (при

откуда окончательно (в случае нормированной спиновой системы отсчета и координатного базиса для тензоров)

(Можно получить аналогичную формулу, содержащую производные символов Инфельда — ван дер Вердена, тензорный индекс которых поднят.) Эта формула позволяет найти спиновые коэффициенты как функции координат если заданы функции . В § 13, где речь идет о дифференциальных формах, мы дадим альтернативный метод вычисления этих величин также другие методы, пригодные для практических расчетов).

Заметим, что если 16 величин произвольно заданы как функции координат (что эквивалентно заданию 16 действительных функций в силу их эрмитовости), то они позволяют определить метрический тензор (по формуле а также нормированную изотропную тетраду (с компонентами фактически спидовую систему отсчета. Теперь можно явно выразить компоненты ковариантной производной спиноров (или тензоров) через компоненты (в спиновом, тетрадном или смешанном базисе). Величина даваемая выражением (4.5.43), единственна по построению. Это служит иллюстрацией к тому, что (как показано в последнем параграфе) действие оператора ковариантной производной на спинор определяется однозначно требованиями, чтобы величина была ковариантно постоянной и кручение было равно нулю. Отметим, что эти свойства позволили определить форму (4.5 39) символов Кристоффеля и симметрию (4.5.5) коэффициентов

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление