Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Риманова геометрия

Рассмотрим следствия введения метрики на М. Метрика есть симметричный тензор валентности обозначаемый через который по определению не сингулярен, т. е. существует обратный тензор такой, что

Мы имеем

Пусть — произвольный контравариантный вектор, а — симметричный оператор. Тогда производная Ли вдоль равна

Повторная внешняя производная от равна

Оба эти выражения не зависят от связности. Складывая их, получаем

свертка этого выражения с дает

что также не должно зависеть от связности. Предположим, что симметричный оператор удовлетворяет требованию

Этим условием однозначно определяется оператор Действительно, выражение (4.3.45) не зависит от связности, следовательно, в нем можно заменить на

где др — произвольный симметричный оператор; в частности, это может быть оператор «производной по координатам», ассоциированный с локальными координатами Если перейти к компонентам, то выражение (4.3.47) имеет привычный классический вид ковариантной производной, записанной через символы Кристоффеля.

И наоборот, можно доказать, что существует симметричная связность удовлетворяющая требованию (4.3.46). Мы определяем (локально) выражением (4.3.47). Тогда мы имеем равенство вида (4.2.46), где и

Таким образом, в силу формул (4.2.48), (4.3.40) и (4.3.41) имеем

Симметричный оператор однозначно определяемый тензором будем называть ковариантной производной Кристоффеля. (Мы доказали, что она существует локально, но локальное существование вместе с единственностью означает глобальное существование.)

С помощью метрики индексы можно поднимать и опускать стандартным образом (гл. 3, § 1) (т. е. устанавливает канонический изоморфизм между Поскольку «ковариантно постоянна», операция поднятия и опускания индексов коммутирует с То есть

Наконец, вычислим кривизну, определяемую ковариантной производной Кристоффеля. Если опустить последний индекс в

то получим тензор Римана(-Кристоффеля)

(При принятом нами расположении индексов наше определение тензора Римана отличается знаком от определения, принятого в литературе. Его обычно используют в связи со спинорными разложениями.)

Действуя коммутатором производных на мы получаем в силу формул (4.3.46) и (4.2.33) и с учетом равенства нулю кручения

т. е. тензор антисимметричен по и Из (4.2.34) следует, что он также антисимметричен по а и Р; таким образом,

Используя (4.2.38), получаем

Из этих соотношений следует, что

Стало быть, тензор обладает также симметрией относительно перестановки пар индексов:

[Заметим, что для вывода равенства (4.3.56) достаточно использовать тождество вместо (4.3.53).] Ввиду симметрий (4.3.53) и (4.3.54) [а следовательно, и (4.3.56)] полное число независимых компонент тензора в каждой точке оказывается равным (см. стр. 187).

Тензор

называется тензором Риччи. В силу равенства (4.3.56) (и симметричности метрики) имеем

Тензор Риччи имеет независимых компонент в каждой точке. Скалярная кривизна дается выражением

Переписав тождества Бианки (4.2.42) в виде

и свернув их с мы получаем важное соотношение

В четырехмерном пространстве-времени это соотношение служит основой полевых уравнений Эйнштейна.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление