Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Градиент скаляра

Для заданного скаляра определим его градиент, иногда называемый его дифференциалом, как элемент модуля дуального модулю :

То, что это есть линейное отображение из в , следует из (4.1.28) и (4.1.29): мы имеем и .

Связь между современным понятием дифференциала и классическим понятием «инфинитезимально малого элемента» может показаться не совсем очевидной, но она проявляется в трансформационных свойствах величины при замене координат. Выберем локальную координатную систему Тогда [формулы (4.1.12) и (4.1.18)] величины

образуют базис в Элементы дуального базиса суть дифференциалы координат

поскольку в силу определения (4.1.32)

При переходе к новым координатам получаем

Так как соотношение (4.1.35) не зависит от выбора координат, мы имеем

что формально совпадает с законом преобразования классических дифференциалов.

Чтобы оправдать применение термина «градиент» для вычислим его компоненты в системе координат Поскольку есть элемент множества эти компоненты можно вычислить, взяв скалярные произведения с элементами базиса искомые величины таковы:

где использовано (4.1.32). Таким образом, определение «дифференциала», данное здесь, совпадает с классическим определением «градиента». Через свои компоненты величина выражается следующим образом:

что есть просто другое представление формально справедливого классического выражения (4.1.37).

Поскольку мы хотим использовать обозначения, включающие абстрактные индексы, обозначение в виде «дифференциала» для ковариантных векторов оказывается не вполне подходящим. Для обозначения оператора градиента, действующего на скаляры, мы будем использовать символ Тогда есть канонический образ при отображении из Поскольку компоненты должны быть каноническим образом дифференцирования V в можно переписать (4.1.32) в виде Другими словами,

причем оператор действует на скаляры. Обозначение (4.1.40) согласуется с тем, которое обычно используется для производной по направлению.

Мы видели в (4.1.38), что компоненты в координатах х равны Поэтому последние величины являются компонентами вектора и мы можем написать

при условии, что операторы действуют на скаляры.

Из (4.1.11) мы окончательно получаем

если

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление