Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Несобственные преобразования

Сначала рассмотрим несобственные преобразования Лоренца. Они могут быть записаны в виде (3.6.14), и, следовательно, такие преобразования характеризуются величиной , удовлетворяющей условиям (3.6.16), т. е. комплексным мировым вектором длины

[поскольку условие (3.6.16) дает Соотношение между и преобразованием Лоренца в спинорном представлении следует из (3.6.14):

Поскольку правая часть есть произведение , в котором индексы А и В переставлены, можно использовать теорию § 4, чтобы получить тензорную форму записи этого выражения:

где — оператор (3.4.57). Раскрывая полностью выражение (3.6.24), получаем

как общее выражение для несобственного преобразования Лоренца, в котором вектор должен удовлетворять только условию (3.6.22). Знак плюс в формуле (3.6.25) соответствует ортохронным преобразованиям

Особый интерес представляют инволютивные несобственные преобразования Лоренца, т. е. совпадающие со своими обратными, поскольку отвечают отражениям пространства-времени относительно линий или гиперплоскостей. В этом случае с учетом равенства (3.6.19) условие справедливости равенства принимает вид

Отсюда на основании (3.6.23) заключаем, что преобразование инволютивно тогда и только тогда, когда вектор пропорционален вектору . Ввиду нормировки (3.6.22) это означает одно из двух:

I. Либо — действительный и времениподобный вектор,

II. Либо действительный и времениподобный вектор.

Тогда (3.6.25) принимает вид

где — действительный единичный вектор, который равен в случае II.

Ортохронным преобразованиям по-прежнему отвечает знак плюс в формуле (3.6.28). Если времениподобный вектор, то ортохронное преобразование есть «отражение пространства относительно точки» или, более корректно, отражение относительно времениподобной прямой. Неортохронное преобразование есть отражение относительно ортогональной гиперплоскости. Если вектор пространственноподобен, то ортохронное преобразование есть «отражение пространства относительно плоскости» или, более корректно, относительно времениподобной

гиперплоскости. Неортохронное преобразование есть отражение относительно ортогональной пространственноподобной прямой. Следует отметить, что два разных вектора приводят к одному и тому же преобразованию поскольку знак в спинорном преобразовании не определяется заданием действия на векторах. Однако во времениподобном случае существует инвариантное различие между векторами и поскольку первый из них направлен в будущее, а второй в прошлое.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление