Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Поле Дирака

Изложенный подход удобен при рассмотрении определенных точных систем взаимодействующих полей. Мы увидим, что в случае таких полей каждое из них можно представить в виде линейной комбинации вкладов типа (5.12.64), но не обязательно с центрами, расположенными на Грубо говоря, различные волны могут претерпевать рассеяние друг на друге, в результате чего возникают новые волны, исходящие из области, внутренней для Полное взаимодействующее поле можно представлять себе составленным из частей, каждая из которых распространяется вдоль изотропных линий как безмассовое свободное поле, но многократно испытывает рассеяние в точках внутренней области. Новым моментом в нашем подходе является то, что между актами рассеяния распространение поля происходит исключительно вдоль изотропных линий. Это достигается путем разбиения системы полей на части, для которых можно использовать интеграл (5.12.6), понимая под совокупность частей световых конусов, являющихся носителями вкладов типа {5.12.64), на которых поле испытало рассеяние.

Для большей ясности начнем с очень простого примера. Рассмотрим свободное уравнение Дирака в форме (5.10.15)

где понимая эту систему как описывающую пару взаимодействующих полей Прежде всего заменим систему (5.12.72) бесконечным набором полей удовлетворяющих условиям

Этот бесконечный набор образует точную систему, и решение первоначального уравнения Дирака (5.12.72) можно записать в виде рядов (предполагая их сходимость)

Действительно, если задана начальная изотропная гиперповерхность например световой конус будущего точки О, то мы можем взять в качестве изотропных данных для нашей системы полей следующее:

где заданные изотропные значения пары дираковских спиноров Тогда ряды (5.12.75) дают искомое решение уравнений (5.12.72) для этих изотропных данных.

Применим предлагаемый метод для решения уравнений (5.12.73) и (5.12.74) с такими условиями. Поскольку — безмассовые свободные поля, можно воспользоваться методами, изложенными ранее: поля в некоторой точке Р, лежащей в будущем по отношению к точке О, можно выразить непосредственно через их изотропные значения по формуле (5.12.6) (и комплексно-сопряженной к ней). Изотропные значения величин в некоторой точке на входят через вклады в с носителем на световом конусе будущего для точки Каждый из них далее порождает вклады в

Рассмотрим случай, когда есть -функция на в точке причем . В соответствии с изложенным выше

здесь и далее используется обозначение для функции с началом координат, смещенным в точку Следующий шаг состоит в решении уравнения (5.12.74) для а именно уравнения

Поскольку для поля изотропное значение равно нулю, потребуем, чтобы решение уравнения (5.12.78) обращалось в нуль на (всюду, кроме точки а также в будущем от на образующей, проходящей через . В силу формул (5.12.44) и (5.12.69) такое решение имеет вид

Действительно, как нетрудно видеть, решение (5.12.74) для всех остальных полей определяется формулами

[см. формулы (5.12.44), (5.12.46) и (5.12.69)]. Подставив (5.12.80) в (5.12.75) и использовав (5.12.60) с учетом (5.12.41), выразим вклад в дираковское поле, даваемый -функцией,

входящей в в точке через функции Бесселя. Точно так же можно выразить через функции Бесселя вклад, даваемый -функцией, входящей в в точке Эти два выражения можно также объединить в полное решение уравнения Дирака с заданными изотропными данными и на

Однако не это в действительности является целью наших рассуждений. Идея состоит в том, чтобы использовать световой конус будущего точки в качестве гиперповерхности начальных данных длядалее повторить процесс для Изотропное значение для на этом световом конусе таково:

где мы воспользовались формулой (5.12.79). [Поскольку нас интересует значение на световом конусе в будущем, мы можем положить Оператор в данном случае имеет вид

поскольку, как в формуле (4.15.9), в качестве мы имеем Применяя оператор (5.12.82) к (5.12.81), получаем

в качестве Таким образом, пользуясь формулой (5.12.6), мы можем представить в некоторой точке Р в будущем от в виде интеграла от (5.12.83) по пересечению светового конуса прошлого точки Р со световым конусом будущего точки Пусть типичная точка на этом пересечении. Тогда векторы так же как и будут изотропными векторами, направленными в будущее (рис. 5.11), и мы можем написать

Для удобства в дальнейшем можно опустить нормировку (5.12.1) и написать

Собрав вместе эти результаты и обозначив элемент 2-поверхности около точки через мы будем иметь

Рис. 5.11. К соотношениям (5.12.84) и (5.12.86). (Первое «рассеяние на массе» в случае дираковского поля.)

где введены -множители с тем, чтобы подынтегральное выражение было инвариантным при растяжении спиноров и и где интегрирование ведется по -мерному пространству всех изотропных «зигзагов» рассмотренного типа, которые соединяют точки О и Р (точки О и Р фиксированы, а — времениподобный вектор, направленный в будущее).

Для удобства перепишем выражение (5.12.86) с использованием дифференциальных форм

или

где — инвариантные 3-формы объема на световом конусе прошлого точки Р и световом конусе будущего точки О, соответственно [174, стр. 7; 175], подходящая инвариантная 2-форма на пространстве пар изотропных направлений (или двумерных плоскостей) в точке Заметим, что

так что, если фиксировать спиноры (позволив точке двигаться вдоль фиксированного луча, проходящего через О, а точке — вдоль фиксированного луча, проходящего через Р), мы получим, продифференцировав (5.12.89) и свернув с гл,

откуда следует, что

[При выводе равенства (5.12.91) достаточно рассматривать фиксированные спиноры поскольку допустимые движения точек порождаются фиксированными спинорами , вместе с другими величинами, дифференциалы которых образуют нулевые внешние произведения с Теперь можно переписать (5.12.86) в виде

где

Далее можно повторить весь процесс: представим в виде линейной суперпозиции -образных вкладов, содержащих причем точка Р теперь лежит в будущем от и используем световой конус будущего точки как начальную гиперповерхность для Результатом будет выражение

где введена -форма

представляющая собой естественный элемент объема в пространстве изотропных «зигзагов»

через обозначены 2-формы (аналогичные 2-формам введенным ранее), определяющие инвариантные элементы объема в пространствах пар изотропных направлений в точках и 1 — инвариантные элементы 3-объема, соответственно, на световых конусах будущего и прошлого точек Кроме того, мы полагаем

(рис. 5.12) и

Общая схема теперь ясна. Подставив полученные выражения мы будем иметь для поля в конечной точке

Рис. 5.12. К соотношениям (5.12.96) и (5.12.94). (Второе «рассеяние на массе в случае днраковского поля.)

выражение в виде двух бесконечных рядов, первый из которых, содержит изотропное значение и интегрируется по пространству изотропных «зигзагов» с четным числом сегментов, а второй содержит поле х и интегрируется по пространству изотропных зигзагов с нечетным числом сегментов. Результат для имеет аналогичную форму, но с соответствующими заменами входящих величин. Разумеется, такая схема не предлагается для практических вычислений, но эти рассуждения имеют эвристическое значение (особенно в связи с твисторным формализмом, который будет введен в т. 2, гл. 6, поскольку описание основанное на использовании изотропных путей, будет играть в нем особую роль (см. также [64]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление