Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Точные системы полей

В данном параграфе будет показано, как построить общую схему рассмотрения систем взаимодействующих полей в плоском или искривленном пространстве-времени, т. е. в общей теории относительности. Гравитационное поле будет описываться спинором Чдясс, который в рамках общего рассмотрения будет трактоваться на равных основаниях с другими полями. Главную роль в наших построениях будет играть понятие точной системы взаимодействующих полей [136, 139]. Имея такую точную систему, можно быть уверенным, что поля будут распространяться в пространстве-времени в соответствии с общими физическими прйнципайй, в общей теорий относительности они к тому же порождают структуру пространства-времени. Подходящая форма задания начальных условий, как будет показано с разных точек зрения в § 11 и 12, опирается на представление о характеристических (т. е. изотропных) начальных гиперповерхностях. В случае точной системы полей начальные данные полны и нег избыточны (без связей), а поэтому подсчет стёпеней свободы не представляет затруднений. Упрощения и унификация, возникающие в настоящей формулировке, являются прямым

результатом использования двухкомпонентных спиноров. Соответствующая же тензорная формулировка оказывается крайне сложной.

Рассмотрим систему полей

в которой каждый спинор симметричен по всем нештрихованным, а также по всем штрихованным индексам. Любое из двух множеств индексов и оба они могут быть пустыми. (Выбор в качестве штрихованных контравариантных индексов, а в качестве нештрихованных ковариантных продиктован лишь соображениями удобства обозначений.) Как было показано в гл. 3, § 3, любой спинор можно представить с помощью символов и спиноров, которые подобно спинорам (5.10.1) полностью симметричны по штрихованным, а также нештрихованным индексам. Стало быть, любая конечная система взаимодействующих локально лоренц-ковариантных (конечнокомпонентных) полей может быть представлена в виде системы (5.10.1).

Предположим, что поля (5.10.1) подчиняются некоторой системе ковариантных дифференциальных уравнений, содержащей оператор Тогда система (5.10.1) будет называться точной системой полей, если в произвольной точке Р выполняются следующие два условия:

а) все симметризованные производные

[включая дифференцирование «нуль раз» полей (5.10.1)] независимы, т. е. могут независимо принимать произвольные значения в точке

б) все несимметризованные производные

определены в точке Р значениями симметризованных производных (5.10.2) в этой точке посредством дифференциальных соотношений, которым удовлетворяют поля.

Когда мы говорим, что спиноры (5.10.2) независимы, то имеем в виду отсутствие алгебраических (спинорных) соотношений, которые связывали бы эти спиноры, а также спиноры, комплексно-сопряженные им. В то же время спиноры (5.10.3) должны выражаться через спиноры (5.10.2) и спиноры, комплексно-сопряженные

им, алгебраическими (спинорными) соотношениями.

Точная система (5.10.1) будет называться инвариантной, если соотношения, которыми спиноры (5.10.3) выражаются через спиноры (5.10.2), не зависят от точки Р и являются локально лоренц-ковариантными [т. е. величины (5.10.3) представляются в виде определенных спинорных комбинаций символов и спиноров (5.10.2) без привлечения каких-либо дополнительных величин, кроме скалярных постоянных].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление