Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Спинорная трактовка

Спинорные выражения для поля Янга — Миллса получаются непосредственно. Имеем

где

В унитарном случае (5.6.33) будем иметь

где

Применяя операторы как и в (4.9.13), получаем

где, как и обычно, действие каждого из этих операторов на мультииндексный объект выражается суммой членов, возникающих в результате его действия на каждый индекс в отдельности.

Спинорная форма соотношения (5.5.28) представляет собой два соотношения

которые в унитарном случае являются комплексно-сопряженными друг к другу [формула (5.1.46)]. Спинорная форма уравнения (5.5.34) такова [формула (5.1.51)]:

что следует из (5.5.41). Независимое уравнение поля Янга — Миллса (5.5.35) принимает вид [формула (5.1.50)]

а вместе два уравнения (5.5.42) и (5.5.43) эквивалентны одному уравнению

В унитарном случае (5.5.33) эти уравнения являются комплексно-сопряженными друг к другу.

В унитарном случае можно по аналогии с тензором энергии-импульса электромагнитного поля (5.2.4) ввести тензор энергии-импульса поля Янга — Миллса

который обладает обычными свойствами, требующимися от источника в уравнениях Эйнштейна,

а также, как вытекает из (5.5.44) и равенства свойством

Он также удовлетворяет условию равенства нулю следа, характеризующему безмассовое поле:

Особый интерес, в частности в связи с определенными взаимосвязями с теорией твисторов (см. т. 2, гл. 6, конец § 10), представляет класс полей Янга — Миллса, являющихся самодуальными и антисамодуальными. Самодуальная часть поля Янга — Миллса такова:

а антисамодуальиая имеет вид

(Эти поля самодуальны и антисамодуальны в обычном смысле термина, т. е. только по отношению к пространственно-временным индексам.) Самодуальное поле Янга — Миллса удовлетворяет условию флввг , а антисамодуальное — условию Заметим, что уравнение поля Янга — Миллса (5.5.43) или, что эквивалентно, (5.5.35) автоматически вытекает из (5.5.42) или, соответственно, из (5.5.34) в случае самодуаль-ных или антисамодуальных полей. Это обстоятельство существенно при выполнении конструкции Уорда для таких полей (гл. 6, § 10).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление